新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.4.1课时精讲》(含解析)

6.4.1 平面几何中的向量方法知识点一   向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二   向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝＝(a ＝(x，y))或AB＝||＝(A(x1，y1)，B(x2，y2))．向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(  )(2)若∥，则直线AB与CD平行．(  )(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角．(  )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(  )A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案 (1)C (2)1∶2 题型一向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．[证明] 证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.∴＝＋＝e1＋e2，＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，∴⊥，即AC⊥BC．证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴＝(－1,1)，＝(1,1)．∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC． 用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明 设＝a，＝b，则＝－＝－a＝(a＋b)－a＝b－a，＝－＝b－＝b－a，所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．                   题型二向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．[解] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴D.∴||＝，||＝， ∴||＝||，即CD＝AB．(2)∵E为CD的中点，∴E，设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴＝λ，即(x，－m)＝λ.则故λ＝，x＝，∴F，∴||＝，即AF＝.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(  ) A．10B．C．2D．22答案 C解析 以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝＝＝＝＝2，|a－b|＝＝＝＝2.2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(  )A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形答案 A解析 由题意得＝(3,3)，＝(2,2)，∴∥，||≠||.故选A．3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是________．答案 y2＝8x(x≠0)解析 ∵＝＝，＝＝，∴·＝2x－＝0，∴y2＝8x(x≠0)．4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．答案 [1,4]解析 解法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝ ·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)··.∵·＝0，∴·＝4－3λ.∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，即·的取值范围是[1,4]．解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)．设＝＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，故·＝4－4t＋t＝4－3t，又t∈[0,1]，所以(·)max＝4－3×0＝4，(·)min＝4－3×1＝1.故·的取值范围是[1,4]．5．如图，在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA．证明 ∵O，E，D三点共线，∴向量与向量共线．则存在实数λ1，使得＝λ1.而＝＋＝＋，则＝λ1＋.又∵A，E，B三点共线，∴与共线，则存在实数λ2，使＝λ2＝λ2(－)．∴＝λ2－λ2.而＋＝， ∴＋λ2－λ2＝λ1＋.即(1－λ2)＋λ2＝λ1＋.∵与不共线，∴∴λ2＝.∴＝，即BE＝BA．