新教材人教版高中数学必修第二册第8章《单元质量测评》(含解析)

第八章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(  )A．①③B．②④C．③④D．①②答案 C解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是(  )A.B.C.D.答案 D解析 棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积为8×××××＝，所以剩下的几何体的体积为1－＝.3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(  )A.B．2C.D.答案 A 解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，由图易得AO⊥BC，∴S△ABC＝×2×＝，故选A.4．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(  )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．5．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(  )A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3答案 A解析 如图，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝，BB′⊥面α，∠BAB′＝.设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是(  )A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n答案 D解析 若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.故选D.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是(  )A．A1C1⊥ADB．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角答案 D解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45°；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，其正切值为＝≠1，所以异面直线AC1与DC所成的角不是45°；连接A1D，DC1，因为A1D∥B1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角．而△A1DC1是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.所以答案选D.8．如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线BC∥平面A′DE；②恒有直线DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为(  )A．0B．1C．2D．3答案 D解析 由BC∥DE知，恒有直线BC∥平面A′DE，①正确；由DE⊥A′G， DE⊥FG知，恒有直线DE⊥平面A′FG，②正确；由直线DE⊥平面A′FG，DE⊂平面A′DE知，恒有平面A′FG⊥平面A′DE，③正确．9．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为(  )A.B.C．45D．45答案 A解析 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.10．PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(  )A.B.C.D.答案 C解析 构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角．设PC＝a，则PD＝，故PO＝PD＝a，故cos∠CPO＝＝.故选C. 11．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的表面积为4π，则SA＝(  )A.B．1C.D.答案 B解析 根据已知把S－ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1,2R＝＝2，解得SA＝1，故选B.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(  )A.B.C.D．2π答案 C解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正确，②错误；EF与MN是异面直线，故③正确；易知MN⊥CD，故④错误．故填①③.14．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．答案 2解析 易知∠BDC′即为二面角B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2，在等边三角形BDC′中，易知DM＝，所以tan∠AMD＝＝2.15．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点 E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．答案 a>6解析 如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE.要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，满足条件的E点有两个，则需以AD为直径的圆与BC相割．∴圆心到BC边的距离d