8.5.2 直线与平面平行知识点一 直线与平面平行的判定定理1．文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．2．符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.3．图形语言：如图所示．4．作用：证明直线与平面平行．知识点二 直线与平面平行的性质定理1．定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．2．符号表示：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b.3．作用：证明或判断线线平行．1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可①直线a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.③直线a在平面β内，即a⊂β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．( )(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．( )(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．做一做(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是________，与NP平行的平面是________．答案 (1)C (2)B (3)l⊄α (4)平面ACD 平面ABD题型一直线与平面平行的理解例1 能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析] A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.[答案] D 平行问题的实质(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．给出下列几个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析 对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．故选B. 题型二直线与平面平行的判定例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.[证明] 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，
则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC. 证明线面平行的方法、步骤(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.证明 如图，分别取AB，BC的中点G，H，连接EG，FH，GH.则由三角形中位线性质知：EG∥FH，且EG＝FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面ABCD，而GH⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.题型三直线与平面平行性质定理的应用例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G
，求证：FG∥平面ADD1A1.[证明] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1. 利用线面平行的性质定理解题的步骤如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案 B解析 由线面平行的判定定理可知，B正确．2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )答案 C解析 在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP；在图C中，AB与平面MNP相交，故选C.3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．平行或都相交于同一点答案 D解析 因为l⊄α，所以l∥α或l∩α＝A.若l∥α，则由线面平行的性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由基本事实4可知，a∥b∥c….若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选D.4．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
答案 解析 ∵a∥α，平面ABD∩α＝EG，∴EG∥a.∴＝，∴＝，即EG＝.5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明 如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.∵M，N分别是△ABD和△BCD的重心，∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，∴MN∥PQ.又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，∴MN∥平面ADC.6．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明 ∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.
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