8.5.1 直线与直线平行知识点一 基本事实4(平行定理)(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c.知识点二 等角定理(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)符号语言：对于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′⇒∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c
不平行．( )(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．做一做 (1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.答案 (1)B(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，所以＝＝，则MN∥BC.又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，
所以GH∥MN.题型基本事实4及等角定理的应用例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1. 证明两条直线平行及角相等的方法(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.证明 如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形.∴CM∥BK.又A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形．∴A1Q∥BK，由基本事实4有A1Q∥CM.同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反．∴∠PA1Q＝∠MCN.1．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝80°，则β＝( )A．80°B．100°C．80°或100°D．不能确定答案 C解析 由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或β＝80°.2．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.则四边形EFGH的形状是( )
A．空间四边形B．平行四边形C．矩形D．梯形答案 D解析 在△ABD中可得EH∥BD,EH＝BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析 在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选D.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案 D解析 连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N，同理可得，N为AD的中点．所以M，N重合，又＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与棱AA1平行的棱共有几条？分别是什么？解 与AA1平行的棱共有两条，分别是BB1，CC1.
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