新教材人教版高中数学必修第二册第7章《7.2.2课时精讲》(含解析)

7.2.2 复数的乘、除运算知识点一   复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．知识点二   复数的乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.知识点三   复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集．(3)4k(k∈Z)是i的周期．(4)与i有关的几个结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.(  )(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(  )(3)两个共轭复数的积为实数．(  )答案 (1)√ (2)× (3)√2．做一做(1)复数＝________.(2)复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．(3)复数2－的共轭复数是________．答案 (1)－i (2)四 (3)2－i题型一复数的乘、除运算例1 (1)复数－＝(  )A．0B．2C．－2iD．2i(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[解析] (1)解法一：－＝＝＝＝2i.解法二：－＝－＝i＋i＝2i.(2)(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴(z1－z2)i的实部为－20.[答案] (1)D (2)－20(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2 化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)原式＝＝＝＝＋i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.题型二在复数范围内解一元二次方程例2 在复数范围内解下列方程．(1)2x2＋6＝0；(2)x2＋x＋4＝0.[解] (1)由2x2＋6＝0，得x2＝－3.因为(i)2＝(－i)2＝－3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i.(2)配方，得2＝－，因为2＝2＝－，所以x＋＝±i，所以原方程的根为x＝－±i.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)在复数范围内定有两个根：(1)Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1,2＝－±.(2)Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1,2＝－. (3)Δ