第九章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是( )A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数一定等于这组数据中的某个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案 B解析 平均数不一定等于这组数据中的某个数据，故B错误．2．某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样方法从全体师生中抽取一个样本量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是( )A．193B．192C．191D．190答案 B解析 由题意可得＝80，解得n＝192.故选B.3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石答案 B解析 根据样本估计总体，可得这批米内夹谷约为×1534≈169(石)，故选B.4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1,2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用比例分配的分层随机抽样方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20B．100,20C．200,10D．100,10答案 A解析 根据题中的统计图知该地区中小学生一共有10000人，由于抽取2%的学生，所以样本量是10000×2%＝200.由于高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.5．对一个样本量为100的数据分组，各组的频数如下：区间[17,19)[19,21)[21,23)[23,25)频数1133区间[25,27)[27,29)[29,31)[31,33]频数18162830估计小于29的数据大约占总体的( )A．42%B．58%C．40%D．16%答案 A解析 小于29的数据频数为1＋1＋3＋3＋18＋16＝42，所以小于29的数据大约占总体的×100%＝42%.6．某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分)，把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，则物理成绩低于50分的学生人数与及格的学生的物理平均成绩分别为( )
A．6 78B．7 79C．6 77.7D．7 77.7答案 C解析 因为各组的频率和等于1.所以由频率分布直方图得低于50分的频率为f1＝1－(0.015×2＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.1.又抽出的学生共有60名，所以成绩低于50分的人数为60×0.1＝6.由题意，得[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组的人数分别为9,18,15,3.又四组的组中值分别为65,75,85,95，所以及格的学生的物理平均成绩约为＝≈77.7.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，并制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A．1B．1.8C．2.4D．3答案 B解析 ＝1.8.
8．为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层随机抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人．若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1∶2，则这四个单位的总人数为( )A．96B．120C．144D．160答案 B解析 因为甲、乙的人数之和等于丙的人数，丙单位有36人，且在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1∶2，所以甲单位有12人，乙单位有24人，又甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，所以丁单位有48人，所以这四个单位的总人数为12＋24＋36＋48＝120.9．下列说法中正确的个数为( )①若样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；③简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与先后顺序有关．A．0B．1C．2D．3答案 A解析 对于①，样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，故①错误；对于②，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，方差没有变化，故②错误；对于③，简单随机抽样是等可能抽样，与个体被抽到的先后顺序无关，故③错误．10．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A．3B．4C．5D．6答案 C解析 方程x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.∴a＝1，b＝4，则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.11．给出如图所示的三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口将达到大约15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．其中正确的命题是( )A．①②B．①③C．①④D．②④答案 B解析 从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错误；从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③.故选B.12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3答案 D解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能超过7人，A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，C中也有可能；B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个样本量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．答案 分层随机抽样、简单随机抽样解析 由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层随机抽样．在丙地区中有20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．14．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层随机抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．答案 12解析 抽取的男运动员的人数为×48＝12.15．将容量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为__________．答案 0.12解析 设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12.
16．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取50人作样本进行分析．已知计算出男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.则总样本的均值为________，方差为________．答案 170.02 43.24解析 由比例分配的分层随机抽样方法，得抽样比例＝，得男生样本数为32，女生样本数为18，∴总样本均值为×173.5＋×163.83≈170.02，∴总方差s2＝×{32×[(17＋(173.5－170.02)2]＋18×[30.03＋(163.83－170.02)2]}≈43.24.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校开展了以“了解传统习俗，弘扬民族文化”为主题的实践活动，某实践小组就“是否知道中秋节的来由”这个问题，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并对收集到的信息进行了统计，得到了下面两个尚不完整的统计图表，请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：调查情况频数频率非常了解0.1了解1400.7基本了解0.18不了解40.02合计2001(1)此次问卷调查采用的是________方法(填“全面调查”或“抽样调查”)，抽取的样本量是________．
(2)如果要对“是否知道中秋节的来由”这个问题作出合理判断，最应关注的数据是________(填“中位数”“众数”或“方差”)．(3)样本中对“中秋节的来由”非常了解的人数是________，基本了解的人数是________．(4)补全上面的条形统计图．答案 (1)抽样调查 200 (2)众数 (3)20 36 (4)见解析解析 (1)此次问卷调查采用了抽样调查方法，抽取的样本量为200.(2)众数．(3)样本中对“中秋节的来由”非常了解的人数是200×0.1＝20，基本了解的人数是200×0.18＝36.(4)补全条形统计图如下：18．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解 甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85.s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.∵甲＝乙，s＜s，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．19．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．解 (1)依题意，20×(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)＝1，解得x＝0.0075.(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴众数为＝230.∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45，∴依题意，设中位数为y，∴0.45＋(y－220)×0.0125＝0.5.解得y＝224，∴中位数为224.20．(本小题满分12分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的师生中抽取10人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少人？(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．解 (1)由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得a＝0.006.(2)由频率分布直方图可知，评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之比为(0.004＋0.006)∶(0.022＋0.028)∶(0.022＋0.018)＝1∶5∶4，所以评分在[60,80)内的师生应抽取10×＝5(人)．(3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为＝45×0.004×10＋55×0.006×10＋65×0.022×10＋75×0.028×10＋85×0.022×10＋95×0.018×10＝76.2.因为76.2>75，所以食堂不需要内部整顿．21．(本小题满分12分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
(1)求x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数．解 (1)由题意，得(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1.解得x＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p1，∴p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300，而p1＝，∴N＝＝＝120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数为n＝p2N＝120×0.750＝90.22．(本小题满分12分)从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种面包质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定”？解 (1)由频率分布表画出频率分布直方图：
(2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.08＋90×0.22＋100×0.37＋110×0.28＋120×0.05＝100，所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100.(3)质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为0.22＋0.37＋0.28＋0.05＝0.92，由于该估计值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的90%的规定”．
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