新教材人教版高中数学必修第二册第9章《9.2.4课时精讲》(含解析)

9.2.4 总体离散程度的估计知识点一   一组数据的方差与标准差知识点二   总体方差与总体标准差 知识点三   样本方差与样本标准差知识点四   标准差、方差描述数据的特征标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．知识点五   分层随机抽样估计总体方差设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x1，x2，…，xn及y1，y2，…，yn表示．样本数总体数方差平均数第1层mMs第2层nNs则总体方差s2＝ 1．方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．2．平均数、方差公式的推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也是s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方差越大，数据的稳定性越强．(  )(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．(  )(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[－2s，＋2s]内．(  )(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．(  )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．做一做(1)下列说法不正确的是(  )A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：①平均命中环数为________；②命中环数的标准差为________．(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2题型一样本的标准差与方差的求法例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解] 甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝≈10.208.乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理s＝128.8，s乙＝≈11.349. 对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：组别平均数标准差 第一组904第二组806求这次考试成绩的平均数和标准差．解 设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为.根据题意，有＝＝85，42＝(x＋x＋…＋x－20×902)，62＝(x＋x＋…＋x－20×802)，∴x＋x＋…＋x＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s2＝(x＋x＋…＋x－402)＝(x＋x＋…＋x－40×852)＝×(291040－289000)＝51，∴s＝.题型二样本标准差、方差的实际应用例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：95 82 88 81 93 79 84 78乙：83 92 80 95 90 80 85 75(1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于－s与＋s之间有多少？[解] (1)甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，乙＝×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85. s＝×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s＝×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵甲＝乙，ss乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.题型三标准差、方差的图形分析例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是(  )A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2，故标准差最大的一组是第四组．[答案] D 由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案． 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(  )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C解析 由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为×(12×3＋32)＝2.4.故C正确．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(  )A．平均数B．中位数C．方差D．众数答案 C解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为(  )A．40B．8C．2D．2答案 D解析 ＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为 ＝2.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案 丙解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．答案 0.1解析 这组数据的平均数＝＝5.1，则方差s2＝＝＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解 (1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.