新教材人教版高中数学必修第二册第10章《10.3.1-10.3.2课时精讲》(含解析)

10.3.1 频率的稳定性10.3.2 随机模拟(教师独具内容)课程标准：结合实例，会用频率估计概率．教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．教学难点：1.频率与概率的区别与联系.2.理解用模拟方法估计概率的实质.知识点一   频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．知识点二   随机数的概念1．随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．2．伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．3．产生随机数的方法：教材中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．我们只要按照它的程序一步一步执行即可． 4．用随机模拟估计概率的步骤(1)建立概率模型；(2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；(3)统计试验结果．1．频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率．3．概率是频率的稳定值，根据概率的定义我们可知，概率越接近于1，事件A发生的频数就越多，此事件发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的频数就越少，此事件发生的可能性就越小．4．应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)频率是概率的估计值．(  )(2)概率是频率的稳定值．(  )(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．(  )答案 (1)√ (2)√ (3)√2．做一做(1)下列说法正确的是(  )A．任何事件的概率总是在(0,1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定(2)下列说法正确的是(  )A．某事件A发生的概率为1.09B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1C．随机事件发生的频率是一个确定的值 D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：试验者抛掷次数(n)正面朝上次数(m)频率德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为(  )A．0.51B．0.49C．0.50D．0.52答案 (1)C (2)B (3)C题型一频率与概率的关系例1 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组频数频率[500,900)48 [900,1100)121 [1100,1300)208 [1300,1500)223 [1500,1700)193 [1700,1900)165 [1900，＋∞)42 (1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．[解] (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 估算法求概率 (1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：一发次数n102050100200500甲一发成功次数9174492179450一发成功的频率      一发次数n102050100200500乙一发成功次数8194493177453一发成功的频率      请根据以上表格中的数据回答下列问题：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．解 (1)一发次数n102050100200500甲一发成功次数9174492179450一发成功的频率0.90.850.880.920.8950.9一发次数n102050100200500乙一发成功次数8194493177453一发成功的频率0.80.950.880.930.8850.906(2)由(1)中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.题型二随机模拟法估计概率例2  天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．[解] 利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：7032563 2564586 3142486 56778517782684 6122569 5241478 89715683215687 6424458 6325874 68943315789614 5689432 1547863 35698412589634 1258697 6547823 2274168相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为＝.随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751据此估计乙获胜的概率约为________．答案 解析  相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.1．下列说法正确的是(  )A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率答案 D解析 注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A的结果是频率，不是概率；B，C两项都没有正确理解概率的含义，D正确．2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到号码为奇数的频率是(  )A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37答案 A解析 取到的卡片号码为奇数的频数为10＋8＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.3．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(  )A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5 答案 A解析 由10组随机数，知4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.4．给出下列三个命题，其中正确的个数为________．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案 0解析 ①根据概率的意义可知，100件产品中，次品数可能是10件，未必一定是10件，错误；②7次试验中，正面出现了3次，得频率为，错误；③频率只是概率的估计值，错误．故正确的个数为0.5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率(1)计算并完成表格；(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解 (1)转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701 落在“铅笔”区域的频率0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.