10.1.3 古典概型(教师独具内容)课程标准:1.了解概率的含义.2.结合具体实例,理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率.教学重点:古典概型的定义及其概率公式.教学难点:会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.知识点一 概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.知识点二 古典概型的概念如果试验具有以下两个特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.知识点三 古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.1.从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率,有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系,有利于理解公式P(A)=.如图所示.
把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则集合A是集合I的一个子集,故有P(A)=.2.求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果).(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性.(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k,求出事件A的概率.P(A)==.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试验符合古典概型.( )(2)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型.( )(3)若一个古典概型的样本点总数为n,则每一个样本点出现的可能性均为.( )答案 (1)× (2)× (3)√2.做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验样本空间的样本点只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个样本点出现的可能性相等;④样本点的总数为n,随机事件A若包含k个样本点,则P(A)=.A.②④B.①③④C.①④D.③④(2)掷一枚骰子,观察掷出的点数,则掷得奇数点的概率是( )
A.B.C.D.(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为( )A.B.C.D.1答案 (1)B (2)A (3)C题型一样本点的计数方法例1 (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )A.2B.3C.4D.6(2)连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.①写出这个试验的所有样本点;②求这个试验的样本点的总数;③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点?[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.(2)①这个试验包含的样本点有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).[答案] (1)C (2)见解析 样本点的两个探求方法(1)列举法:把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.(2)树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验的题目.
口袋中有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,求样本点的总数.解 把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4,所有可能结果如树状图所示,共24个样本点.题型二古典概型的判定例2 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出一个球.(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型?(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点?以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型?[解] (1)因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相同,所以是古典概型.(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”,共3个样本点.这些样本点个数有限,但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型. 判断一个试验是古典概型的依据一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性.下列概率模型:①在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点;②某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环;③某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲;④一只使用中的灯泡的寿命长短;⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.其中属于古典概型的是________.答案 ③解析 ①
不属于.原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个,不满足有限性;②不属于.原因是命中0环,1环,…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性;③属于.原因是显然满足有限性,且任选1人与学生的性别无关,是等可能的;④不属于.原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性;⑤不属于.原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同,不满足等可能性.题型三古典概型的求法例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:(1)事件A={三个数字中不含1或5};(2)事件B={三个数字中含1或5}.[解] 这个试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},样本点总数n=10,这10个样本点发生的可能性是相等的.(1)因为事件A={(2,3,4)},所以事件A包含的样本点数m=1.所以P(A)==.(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以事件B包含的样本点数m=9.所以P(B)==. 1.古典概型概率的求法步骤(1)确定等可能样本点总数n;(2)确定所求事件包含的样本点数m;(3)P(A)=.2.使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型;(2)A事件是什么,包含的样本点有哪些.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则甲赢,否则乙赢.(1)若以A表示事件“和为6”,求P(A);(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”,求P(B);(3)这个游戏公平吗?请说明理由.
解 将所有的样本点列表如下:甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知,该试验共有25个等可能发生的样本点,属于古典概型.(1)事件A包含了(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,故P(A)==.(2)事件B包含了(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),共16个样本点,所以P(B)=.(3)这个游戏不公平.因为“和为偶数”的概率为,“和为奇数”的概率是,二者不相等,所以游戏不公平.题型四较复杂的古典概型的概率计算例4 有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就坐时.(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.[解] 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:
如上图所示,共24个等可能发生的样本点,属于古典概型.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)=.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以P(B)==.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以P(C)==.(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.(1)求A1被选中的概率;(2)求B1和C1不全被选中的概率.解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,这个试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.由于每一个样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等可能的.用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6个样本点,因此P(M)==.(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3个样本点,而N∪=Ω,且N∩=∅,故事件N包含的样本点个数为18-3=15,所以P(N)==.1.若书架上放有中文书5本,英文书3本,日文书2本,由书架上抽出一本外文书的概率为( )A.B.C.D.答案 D解析 由题意知书架上共有10本书,其中外文书为英文书和日文书的和,即3+2=5(本).所以由书架上抽出一本外文书的概率P==,故选D.
2.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.B.C.D.答案 C解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,这个试验的样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)},共10个样本点,这10个样本点发生的可能性是相等的.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4个,故所求概率P==.3.甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.B.C.D.答案 C解析 因为甲、乙、丙三人在3天节日中,每人值班1天,所以样本空间Ω={甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲},共6个样本点,而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙,丙甲乙},共2个样本点.所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是.选C.4.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为________.答案 解析 三张卡片的排列方法有BE1E2,BE2E1,E1BE2,E1E2B,E2E1B,E2BE1,共6种,这6种情况发生的可能性是相等的.其中恰好排成英文单词BEE的有2种,故恰好排成英文单词BEE的概率为.5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
解 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10个样本点.(2)上述10个样本点发生的可能性相同,且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=.故摸出2只球都是白球的概率为.