新教材人教版高中数学必修第二册第10章《10.1.4课时精讲》(含解析)

10.1.4 概率的基本性质(教师独具内容)课程标准：结合实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．教学重点：随机事件概率的运算法则．教学难点：利用随机事件概率的运算法则解题.知识点  概率的基本性质性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．如何应用互斥事件的概率加法公式(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果．(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和． 2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系(1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(  )(2)对于互斥事件A与B，一定有P(A)＋P(B)＝1.(  )(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．(  )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)若A，B为互斥事件，则(  )A．P(A)＋P(B)1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(  )A.B.C.D.(3)一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是(  )A．0.994B．0.006C．0D．1答案 (1)D (2)A (3)B题型一互斥事件与对立事件的概率例1 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率； (2)求派出医生至少2人的概率．[解] 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.解法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 互斥、对立事件概率的求解步骤解决事件概率问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．解 解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.解法二：(利用对立事件求概率)(1)由解法一，知取出1球是红球或黑球的对立事件为取出1球是白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.题型二概率基本性质的应用例2 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率．[解] (1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.[变式探究] 在本例中，如果公务员选乘一种或几种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 复杂事件概率的求法求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在80～89分(包括89分)的概率是0.51，在70～79分(包括79分)的概率是0.15，在60～69分(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．解 小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，小明数学考试及格可以看作互斥事件“ 在60～69分”“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．于是分别记小明的成绩“不低于90分”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.(2)解法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.1．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85)g范围内的概率是(  )A．0.62B．0.38C．0.70D．0.68答案 B解析 质量在[4.8,4.85)g范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38.2．掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为(  )A.B.C.D.答案 D解析 记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．答案 解析 ∵所选3人中没有女生即都是男生与至少有一名女生为对立事件，∴所选3人中都是男生的概率P＝1－＝. 4．同时掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．答案 解析 记没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.因A∩B＝∅，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.故至少有一个5点或6点的概率为.5．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率．解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.