新教材人教版高中数学必修第二册8.3.1《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习（解析版）

格致课堂8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．A．130B．140C．150D．160【答案】D【解析】设直四棱柱中，对角线，因为平面,平面，所以，在中，，可得,同理可得，因为四边形为菱形，可得互相垂直平分，所以，即菱形的边长为，因此，这个棱柱的侧面积为，故选D.2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为，的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=，故八面体体积V=2V1=，故选B．3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（） 格致课堂A．6B．12C．24D．48【答案】D【解析】∵长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，∴设三条棱长分别为k，2k，3k则长方体的对角线长为=k=2∴k=2长方体的长宽高为6，4，2∴这个长方体的体积为6×4×2=48故答案为48应选D4．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.在中，，，∴，∴.∵，，∴点到直线的距离为.∴.∴. 格致课堂故选C5．（多选题）下列结论中，正确的是（）A.B.在棱柱中，；C.在正棱锥中，；D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。【答案】BC【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选BC。6.（多选题）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A．直三棱柱侧面积是B．直三棱柱体积是C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为【答案】ACD【解析】在直三棱柱中，，，底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 格致课堂直三棱柱的体积为，故B不正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，三棱锥的高为定值，××2＝，××＝，故C正确；设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．故选：ACD．三、填空题7．【2019年江苏省高考数学试卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为120，所以， 格致课堂因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，，.故答案为：..9．正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为______．【答案】【解析】设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，所以由，解得，所以侧面积为.故答案为 格致课堂10．【五省优创名校2019届高三联考（全国I卷)数学（文)试题】已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________，三棱柱的体积为。【答案】【解析】正三棱柱的高为6，，四棱锥的表面为等腰三角形，，到距离为，，梯形的面积为，，，所以，四棱锥的表面积为，三棱柱的体积为四、解答题11．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．【答案】，【解析】如图，，在中，． 格致课堂，E为BC的中点，侧棱长都相等，，12．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？【答案】【解析】由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝··PO1＝×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).故仓库的容积是312m3.