新教材人教版高中数学必修第二册6.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》同步练习（解析版）

格致课堂6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示一、选择题1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，则的坐标是(  )A．(4，－2)     B．(4,2)C．(2,4)D．(-4,8)【答案】B 【解析】因为＝4i＋2j，所以＝(4,2)，故选B。2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(  )A．2i＋3j       B．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j【答案】C【解析】记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.故选C。3.已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(  )A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)【答案】D 【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．故选D。4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(  )A．第一、二象限   B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限【答案】D 【解析】x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D。5.（多选题）下列说法正确的是（） 格致课堂A.相等向量的坐标相同；B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；C.一个坐标对应唯一的一个向量；D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。【答案】ABD【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误。所以选ABD.6.（多选题）已知向量，平面内的任意向量，下列结论中错误的是（）A.存在唯一的一对实数x，y，使得。B.若则。C.若，且，则的起点是原点O。D.若，且的终点坐标是，则。【答案】BCD【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确；，但1=1，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以向量与向量的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当的终点坐标是时，是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误。故选BCD。一、填空题7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．【答案】(，) 【解析】由题意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝i＋j＝(，)．8.若向量与相等，则=_________.【答案】-1【解析】因为，所以=0且=2，解得.9.如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量 格致课堂,那么_______.【答案】3【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为则,又因为,所以,解得所以答案为3.10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为，向量的坐标为________．【答案】(－，1) (－，1) 【解析】设A(x，y)，∴x＝||cos150°＝2×＝－，y＝||sin150°＝2×＝1，所以点A的坐标为(－，1)．∴的坐标为(－，1)．三．解答题11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 格致课堂【解析】 由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，所以＝(－4,3)．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标．【解析】 (1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，AM＝OA·sin45°＝4×＝2，∴A(2，2)，故a＝(2，2)． 格致课堂∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴C，∴＝＝，即b＝.(2)＝－＝.(3)＝＋＝(2，2)＋