新教材人教版高中数学必修第二册8.6.3《平面与平面垂直（第2课时）平面与平面垂直的性质》学案 (含详解)

【新教材】8.6.3平面与平面垂直（人教A版）第2课时平面与平面垂直的性质1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面垂直的性质定理.难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.一、预习导入阅读课本141-142页，填写。1、平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言两个平面垂直,则一个平面内__________________的直线与另一个平面垂直⇒a⊥β探究:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是(　　)A.AP⊥ACB.AP⊥ABC.AP⊥平面ABCD.AP与BC所成的角为45°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(　　)A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面D.B1B与l相交3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是(　　)A.若α∥β,则m∥nB.若m∥n,则α∥βC.若n⊥α,则m⊥βD.若m⊥β,则α⊥β4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线　　　　上.  题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.题型二线面、面面垂直的的综合应用例2如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离. 跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线　③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面　④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是(　　)A.3B.2C.1D.02.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是(　　)A.直角三角形B.等腰三角形B.等边三角形D.等腰直角三角形3.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为(　　)A.1B.2C.3D.44.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是　　　　　　. 5.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.答案小试牛刀1．D.2．B.3．D.4.AB.自主探究例1【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D.∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC. 又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.跟踪训练一1.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD.因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.例2【答案】（1）见解析（2）见解析.(3).【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD. 又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,因为AP=PB,DQ=QC,所以APCQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.当堂检测 1-3.CAC4.以AB为直径的圆(除去A,B两点).5．【答案】证明见解析.【解析】证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.