新教材人教版高中数学必修第二册8.6.2《直线与平面垂直（第2课时）直线与平面垂直的性质》学案 (含详解)

【新教材】8.6.2直线与平面垂直（人教A版）第2课时直线与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.一、预习导入阅读课本153-155页，填写。 1、直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线_______.常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知若平面外的直线b与直线垂直，则.(3)已知.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条______________________________.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个______________________________.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(  )A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面D.B1B与l相交2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有(  )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么(  )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ4.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________. 题型一直线与平面垂直的性质定理的应用例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M是AB的中点.跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.题型二空间中的距离问题例2如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积. 跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.1．直角三角形的斜边在平面内，顶点在平面外，则△ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形是（）．A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形2．已知正方体中，，则点到平面的距离为（）A．1B．C．D．3．如图所示，在斜三棱柱中，，则点在底面上的射影必在（） A．直线上B．直线上C．直线上D．内部4．如图，设正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，分别为棱的中点，则的长为_______.5．如图所示，已知所在的平面，是的直径，，是上一点，且，与所在的平面成角，是的中点，是的中点；（1）求证：平面；（2）求三棱锥-的体积． 答案小试牛刀1．B.2．D.3．A.4.4.自主探究例1【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)设AD1∩A1D=O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.所以ONCDAB,即ON∥AM.又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,即M是AB的中点.跟踪训练一1、【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l. 又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.例2【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.跟踪训练二1、【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】解析(1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=，所以VP-ACM=VC-PAM=S△PAM·AE=当堂检测1-3.DBA4.. 5．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵是的直径，是上一点，∴．∵所在的平面，∴．又分别是的中点，∴EF//BC，∴，．又，∴平面．（2）由（1）知，且，，∴．∵所在的平面，∴为与所在的平面所成的平面角，∴，∴．故．