新教材人教版高中数学必修第二册6.2.4《向量的数量积（第1课时）向量的数量积的物理背景和数量积》学案 (含详解)

【新教材】6.2.4向量的数量积（人教A版）第1课时向量的数量积的物理背景和数量积1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。1.数学抽象：数量积相关概念的理解；2.逻辑推理：有关数量积的运算；3.数学运算：求数量积或投影；4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.重点：平面向量数量积的含义与物理意义；难点：平面向量数量积的概念. 一、预习导入阅读课本17-21页，填写。1、向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB=（0°≤≤180°）叫作向量a与b的夹角。当=______时，a与b同向；当=______时，a与b反向；当=______时，a与b垂直，记作a⊥b。规定：零向量可与任一向量垂直。2、射影的概念叫作向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。3、数量积的定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=____________.注意不能写成或的形式数量积的几何意义：____________________________________________________________________.数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积4、向量数量积的性质特别地： (当且仅当等号成立)5、运算定律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1).交换律：a·b=______(2).数乘结合律：（）·b=______=______.(3).分配律：（a+b）·c=____________.1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．(  )(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(  )(3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(  )(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(  )2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(  )A．12B．12C．－12D．－123．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(  )A．12  B．3C．6  D．34．已知|a|＝5，向量a与b的夹角θ＝60°，则向量a在b方向上的射影为________．题型一数量积的基本运算例1 已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b. 跟踪训练一1、已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．题型二数量积的几何意义例2 已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e 方向上的投影，并画图说明．跟踪训练二1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.(1)向量a在向量b方向上的投影为________．(1)向量b在向量a方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC中，在方向上的投影为______．题型三向量的混合运算例3 (1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．跟踪训练三1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.1．下列命题：(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确的有(  )               A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(  )A.B．3C．2D.3．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(  )A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________． 5．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.6．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×(4)×2．B.3．C.4..自主探究例1【答案】①a·b=－10.②a·b＝0.③a·b＝5.【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×＝5. 跟踪训练一1、【答案】－25．【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，∴·＋·＋·＝·＋·＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－25.例2 【答案】 见解析【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为3；当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－3.∴|a|·cos45°＝3，|a|·cos90°＝0，|a|·cos135°＝－3. 跟踪训练二【答案】1、(1)－ (2)－2. 2、－1.【解析】1、（1）2、例3 【答案】（1）-72.（2）2.【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2＝62-6×4×cos60°-6×42＝-72.（2） ·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.跟踪训练三【答案】1、-6.2、2．【解析】1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，所以t＋1－t＝0，所以t＝2.当堂检测 1-3.BAC4. 15.26.【答案】(1).(2)－3.【解析】(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|＝－1，∴＝－，∴θ＝.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.