新教材人教版高中数学必修第二册7.2.1《复数的加、减法运算及其几何意义》学案 (含详解)

【新教材】7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义（人教A版）1.掌握复数代数形式的加、减运算法则； 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.一、预习导入阅读课本75-76页，填写。1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝__________________________；②z1－z2＝__________________________.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝___________；②(z1＋z2)＋z3＝___________．2．复数加减法的几何意义图321如图321所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数___________对应，向量与复数___________对应．思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？提示|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．(  )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(  )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(  )2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(  )A．8i      B．6C．6＋8iD．6－8i3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于(  )A．B．2C．D．44．(5－i)－(3－i)－5i＝________. 题型一复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．跟踪训练一1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．题型二复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点间的距离.跟踪训练二1、已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．题型三复数加、减运算几何意义的应用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.1.a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(  )A．1＋i       B．2＋iC．3D．－2－i2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(  )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋， 对应的复数及A，B两点间的距离．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．B.3．B.4.2－5i.自主探究例1【答案】(1)－7＋7i.(2)－10i.(3)3a＋(4－2b)i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.跟踪训练一1．【答案】(1)－9i.(2)－2a＋(6b－5)i.【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.例2【答案】．【解析】 因为复平面内的点对应的复数分别为.所以之间的距离为跟踪训练二 1、【答案】D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以||＝|7＋2i|＝＝，因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝＝13.故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.例3【答案】 |z|max＝6，|z|min＝4.【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.跟踪训练三1．【答案】|z1－z2|＝.【解析】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝.当堂检测1-2.DB 3.54.-1 5.【答案】向量＋对应的复数为2.向量对应的复数为－8－2i.A，B两点间的距离为2.【解析】向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵＝－，∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝2.