新教材人教版高中数学必修第二册6.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》学案 (含详解)

【新教材】6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（人教A版）1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.一、预习导入阅读课本27-29页，填写。 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，___________一对实数、，使得…………我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为___________.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.(  )(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(  )(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(  )(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(  )2．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(  ) A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a与b的坐标分别为________．题型一向量的减法运算例1如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，_______________.例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标． 跟踪训练一1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．2.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(，－1)，求的坐标．1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(  )A．2i＋3j         B．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j2．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则(  )A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－13．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则4．已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为____.5．如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标．答案小试牛刀 1.(1)√(2)×(3)√(4)×2．D.3．(3,4)，(-1,1).自主探究例1【答案】a＝(－4,0)；b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．例2 【答案】B.D.＝，＝.【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，∴B.x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，∴D.∴＝，＝.跟踪训练一1．【答案】a＝e1＋e2.【解析】设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴解得∴a＝e1＋e2.2.【答案】（1）＝(2，6)．(2)＝(，7)．【解析】(1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．当堂检测1-2.CB3.(-1,6)4.(-3，3) 5.【答案】．【解析】，设由题意得：，即，解得：或由图可知