新教材人教版高中数学必修第二册6.2.3《向量的数乘运算》学案 (含详解)

【新教材】6.2.3向量的数乘运算（人教A版）1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。1、定义  实数与向量的积是一个_________，记作_________.它的长度和方向规定如下：  （1）.（2）时，的方向与的方向_________；当时，的方向与的方向_________；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）； （2）； （3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)的方向与a的方向一致．(  )(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．(  )(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝，则a＝b.(  )2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(  )A．b＝2a         B．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2b3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(  )A．平行四边形B．菱形 C．梯形D．矩形4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．跟踪训练一1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.跟踪训练二1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.题型三共线定理的应用例3 已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．跟踪训练三1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．1.等于(  )A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(  )一、①m(a－b)＝ma－；②(m－n)a＝ma－；③若ma＝，则a＝b；④若ma＝，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④3.如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则＝(  )A．－a＋b   B.a－bC.a＋bD．－a＋b4．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有(  )A．①②③        B．②③④C．①③④D．①②③④ 5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．6．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b.(1)用a，b分别表示向量(2)求证：B，E，F三点共线．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．A.3．C.4.－a＋8b.自主探究例1【答案】(1)14a－9b.(2)－2a＋4b.【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.跟踪训练一【答案】1、－i－5j.2、．【解析】1、原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.2、联立方程组解得例2【答案】  －a＋b＋c.＝a－b－c.【解析】 ＝＋＋＝－a＋b＋c.∵＝＋＋，又＝－，＝－，＝，∴＝a－b－c.跟踪训练二1、【答案】＝a.＝－a＋b.＝a－b.【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于BC，故＝，即＝a.＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b. 例3 【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.【解析】 (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.∴，共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(－1)e2.∵e1与e2不共线，∴解得k＝±1.跟踪训练三【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.【解析】1、证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．2、解由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.当堂检测1-4.BBDA 5.－2或6．【答案】见解析.【解析】