新教材人教版高中数学必修第二册7.1.1《数系的扩充和复数的概念》学案 (含详解)

【新教材】7.1.1数系的扩充和复数的概念（人教A版）1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2.理解复数的概念、表示法及相关概念．3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．1.数学抽象：复数及相关概念；2.逻辑推理：复数的分类；3.数学运算：复数相等求参.重点：复数的分类及复数相等的充要条件．难点：复数的概念.一、预习导入阅读课本68-69页，填写。 1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔_____________________.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？_______________________________________________________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(  )(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(  )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(  )2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为(  )A．0   B．1C．2D．33．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.题型一复数的概念例1下列命题中，正确命题的个数是(  )①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3跟踪训练一1．下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．题型二复数的分类例2实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练二1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．题型三复数相等的充要条件例3根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.跟踪训练三1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(  )A．，1      B．，5C．±，5D．±，12．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝(  )A．1B．2C．3D．03．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________. 4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为________．5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.答案小试牛刀1.(1)×(2)√(3)√2．C.3．5.4.(1) (2)－1自主探究例1【答案】A【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.跟踪训练一1．【答案】①．【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．例2【答案】(1)x＝5时，z是实数．(2)x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【解析】(1)当x满足即x＝5时，z是实数．(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．跟踪训练二1．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．【解析】 (1)若z为实数，则即 解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则即解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则即即解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．例3【答案】 (1)或(2)【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴解得或(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴解得跟踪训练三1．【答案】1或2.【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件得或解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.当堂检测1-2.CA 3.-1-14.25.【答案】(1)m＝5或－3；(2)m≠5且m≠－3.(3)m＝－2.(4)m＝－3.【解析】 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当时，复数z是纯虚数， ∴m＝－2.(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.