新教材人教版高中数学必修第二册6.3.5《平面向量数量积的坐标表示》学案 (含详解)

【新教材】6.3.5平面向量数量积的坐标表示（人教A版）1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用. 一、预习导入阅读课本34-35页，填写。1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=________________.即：______________________________________________.（2）a⊥b________________________________.2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式（1）若a=(x,y)，则|a|=________________.（2）若A(x1,x2),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为________________________________.（3）设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角，则______________________.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(  )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(  )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(  )A．23    B．7   C．－23    D．－73．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(  )A．{2,3}B．{－1,6}C．{2}D．{6}4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.题型一平面向量数量积的坐标运算例1(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(  )A．－1          B．0C．1D．2 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(  )A．5B．4C．3D．2跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.2．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.题型二向量的模的问题例2(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(  )A.B.C.D.(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.跟踪训练二1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.题型三向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(  )A．30°B．60°C．120°D．150°(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．     跟踪训练三1、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．题型四平面向量的数量积问题 例4 已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．跟踪训练四1、如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(  )A．－1B．－C.D．12．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(  )A.B．3C．－D．－33．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是(  )A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b4．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且＝－，则·＝________.6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．D.3．C.4.2.自主探究例1【答案】(1)C．(2)A．【解析】(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.跟踪训练一【答案】1、12、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1. 2、设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.例2【答案】（1）A（2）a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，|a＋b|＝.【解析】 (1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝2，得x2＋y2＝52. ①由a⊥b，解得2x－3y＝0.②由①②，解得或∴a＝(6,4)或a＝(－6，－4)．∴a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，∴|a＋b|＝.跟踪训练二【答案】1、2＋.2、8.【解析】1、2a－b＝(2cosθ－，2sinθ)，|2a－b|＝＝＝，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.2、∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.例3【答案】(1)C.(2)c＝.【解析】 (1)∵a·b＝－2－8＝－10，∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－. 设a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1. ①又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0. ②联立①②，得方程组解得故c＝.跟踪训练三【答案】(1)b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2).【解析】(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.例4 【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC为直角三角形， 且B＝，cosA＝，cosC＝，∴·＋·＋·＝·＋·＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．∴＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)．∴·＝－3×0＋0×4＝0，·＝0×3＋4×(－4)＝－16，·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25. 跟踪训练四1、【答案】.【解析】法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.故cos∠DOE＝＝＝.法二：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.当堂检测1-3.DDC4..5.－4.6.【答案】(1)c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)π.【解析】(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2， 可得解得或故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.