新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)8.5《空间直线、平面的平行》（解析版）

8.5空间直线、平面的平行（精讲）思维导图 常见考法考法一线面平行【例1-1】（2021·海原县第一中学高一期末）如图，正方体中，为中点．求证： 平面．【答案】证明见解析.【解析】证明：连结与交于点，连结.在中，分别为、的中点.得.又因为平面，平面，所以平面【例1-2】（2020·浙江高一期末）如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点． （1）求证：面；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接、，因为四边形为矩形，则且，、分别为、的中点，则且，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面；（2）如下图所示，连接，取的中点，连接，为的中点，所以，点、到平面的距离相等，所以，，、分别为、的中点，则且，平面，平面， 的面积为，因此，.【一隅三反】1．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；【答案】详见解析【解析】如图所示：连接与交于点O，连接OD，因为O，D为中点，所以，又平面，平面，所以平面；2．（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心， ，分别为，的中点，在上，且.求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接，∵为的中点，为的重心，∴点一定在上，且，∵为的中点，∴，又，∴，即，∴，则，∵平面，平面，∴平面；3．（2020·咸阳市高新一中高一月考）正方形与正方形所在平面相交于，在、上各有一点，，且．求证：平面． 【答案】证明见解析.【解析】如图所示，交于，作交于，连接．正方形和正方形有公共边，．又，．又，，，．且，即四边形为平行四边形，．又平面，平面，平面．考法二面面平行【例2】（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是 BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1.（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，由（1）有直线EG平面BDD1B1；又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG平面BDD1B1.【一隅三反】1．（2021·全国高一专题练习）下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 A．B．C．D．【答案】B【解析】B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故选B．2．（2021·全国高一课时练习）如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）若F为的中点，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结交于O，连结. ∵因为为正方体，底面为正方形，对角线､交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中∴是的中位线∴；又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以∥平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面. 3．（2021·全国高一）如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵四边形为平行四边形，、为、的中点，、交于点，∴，又∵平面，平面，∴平面，又是的中位线，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，平面，， ∴平面平面.（2）∵、、为、、的中点，∴，，∴，又，∴.考法三平行的综合运用【例3】（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.【解析】（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H． 【一隅三反】1．（2021·全国高一）已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或【答案】D【解析】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；对于C，若，，则或，所以C错；对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，当时，因为，，所以，故D正确；故选：D．2．（2021·全国高一课时练习）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线、，，，，D．存在两条异面直线、，，，，【答案】D【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故不对；对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；对于，在直线上取点，过点和直线确定一个平面，交平面于， 因为，所以；又，，所以，又因为，，，，所以；故选：D3．（2020·北京大兴区·高一期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；理由见解析.【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，平面∩平面，∴；（2）取的中点，连接，， ∵是的中点，∴，，又由（1）可得，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）取中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，又由（2）可得平面，，∴平面平面，∵是上的动点，平面，∴平面，∴线段上存在点，使平面.考法四线面、面面平行的性质【例4-】（2020·全国高一课时练习）在如图所示的几何体中，、、分别是、、 的中点，．求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，则，又，，而平面，平面．同理，，而平面，平面．，平面平面，平面，平面.【例4-2】（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱中，点为的中点，点是上的一点，若//平面，则（） A．B．1C．2D．3【答案】B【解析】若//平面，则.①当点满足时，由平行四边形，可得//.又平面，平面，//平面.同理//平面，又，∴平面//平面，//平面，满足已知条件.②假设点不是线段的中点由//平面，则可取线段的中点，由①可知，平面//平面，∴平面//平面，与平面平面相矛盾，因此假设不成立，故点是线段的中点.故选：B. 【一隅三反】1．（2020·北京人大附中高一期末）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.【答案】【解析】取中点，连接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.故答案为：.2．（2021·全国高一课时练习）已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为___________.【答案】或 【解析】如图：当点在两平面之外即在延长线上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，，，所以，解得，如图：当点在两平面之间即在线段上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，，，所以，解得，所以，综上所述：的长为或，故答案为：或 3．（2020·河南高一月考）如图，一个侧棱长为的直三棱柱容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱，，，的中点，，，．（1）求证：平面平面；（2）当底面水平放置时，求液面的高．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵，分别为棱，的中点，∴是的中位线，即．又平面，平面，∴平面．同理，平面，又，平面，平面，∴平面平面．（2）由（1）可知，当直三棱柱容器的侧面水平放置时，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱容器的高，即侧棱长，当底面水平放置时，设液面的高为，的面积为，由已知，有且，所以．由于液体体积前后不变，所以，即．∴当底面水平放置时，液面的高为．4．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上． （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当点为棱的中点时，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，所以.（2）由点为棱的中点，可得为的中点，取的中点，分别连接，和，因为正三棱柱，所以，则，取的中点，连接，在等边中，因为，可得在等腰梯形中，，可得，连接，在直角中，，可得，所以，可得，因为，所以平面，即四棱锥的高为， 又由梯形的面积为，所以四棱锥的体积为.