新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)8.6《空间直线、平面的垂直》（1）（解析版）

8.6空间直线、平面的垂直（1）（精讲）思维导图 常见考法考法一线面垂直【例1】（2021·江西景德镇市·）在四棱锥中，， ，平面，为的中点，为的中点，．（1）取中点，证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明:因为中点，在中，，则．而，则在等腰三角形中，①.又在中，,则，因为平面，平面，则，又，即，，则平面，因为平面，所以，因此②.又，由①②知平面；（2）在中，，，又，平面，平面，即为三棱锥的高，，在中，，，设点到平面的距离为，则， ，即点到平面的距离为.【一隅三反】1．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】证明：为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以因为平面，平面，所以又,所以面又平面，则又，，所以平面又平面，所以又因为，所以平面2．（2021·宁夏银川市·高一期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，底面ABC是直角三角形，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：平面ABC，且平面ABC，，底面ABC是直角三角形且，，又平面PAB，平面PAB，，平面.(2)证明：连结并延长交于点，连结，,是的重心，为边上的中线，为边上的中点，又有为边上的中点，，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC，又平面DOE，平面DOE，，平面DOE平面PBC，又有平面DOE，平面3．（2021·陕西咸阳市·高一期末）将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）如图所示：连接，易知，因为平面，平面，所以，又，所以平面.在中，点，分别是，的中点，所以.所以平面.（Ⅱ）∵平面，∴是三棱锥在平面上的高，且.∵点，分别是，的中点，∴.∴.∴.考法二线线垂直【例2】（2020·全国专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，D是的中点，与交于点O，且平面 (1)证明：；(2)若，求三棱柱的高.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由题意且,,所以,又侧面，,又与交于点，所以,平面又因为平面,所以．(2)在矩形中，由平面几何知识可知∵，∴，∴ 设三棱柱的高为，即三棱锥的高为又，由得，∴【一隅三反】1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）如图，在三棱柱中，侧棱⊥底面，，分别为棱的中点．（1）求证：；（2）若求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为侧棱⊥底面，平面，所以，因为为中点，，故，而，故平面，而平面，故.（2）取的中点为，连接.因为，故，故，因为，故，且，故，因为三棱柱中，侧棱⊥底面，故三棱柱为直棱柱，故⊥底面，因为底面，故，而， 故平面，而，故.2．（2021·广西河池市·高一期末）如图，在三棱柱中，，．（1）若三棱柱的体积为1，求三棱锥的体积；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设三棱柱的高为，的面积为，由三棱柱的体积为1，可得， 可得三棱锥的体积为.（2）如图所示：取的中点，连，,∵，∴，∴,∵，，∴∵，，∴,∵，，平面，，∴平面∵平面，平面，∴．3．（2021·扶风县法门高中高一期末）如图，三棱锥V—ABC中，VA=VB＝AC=BC=，AB＝，VC=1． （1）证明：AB⊥VC；（2）求三棱锥V—ABC的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取AB的中点为D，连接VD，CD，∵VA=VB，是等腰三角形，∴AB⊥VD，，是等腰三角形，AB⊥CD，，所以AB⊥平面VDC．又VC平面VDC，故AB⊥VC.（2）由（1）知AB⊥平面VDC，，，所以，，，又VC=1，所以是等边三角形，所以，故三棱锥V—ABC的体积等于．考法三面面垂直【例3】（2021·江西景德镇市·高一期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点. （1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形为正方形，则，底面，平面，，，平面，平面，平面平面；（2）如下图所示，连接，四边形为正方形，且，则为的中点，因为平面，平面，平面平面，，为的中点，为的中点，平面，平面，且，的面积为， 所以，.【一隅三反】1．（2021·陕西宝鸡市·高一期末）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（1）求证：平面平面；（2）当面时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由，为线段的中点，可得，由，，，可得平面，又平面，可得又所以平面，平面，所以平面平面；（2）解：平面，平面，且平面平面，可得，又为的中点， 可得为的中点，且，由平面，可得平面，可得，则三棱锥的体积V=．2．（2021·全国高一课时练习）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点求证：（1）平面平面ABCD；（2）平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵平面PCD，平面PCD∴∵ABCD为矩形，∴又：，平面PAD，平面PAD∴平面PAD∵平面ABCD∴平面平面ABCD（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，∵ABCD为矩形，∴O点为AC中点∵E为PC中点∴∵平面PAD，平面PAD ∴平面PAD同理可得：平面PAD∵∴平面平面PAD∵平面OEF∴平面PAD3．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知在三棱锥中，，M为的中点，D为的中点，且为正三角形．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【解析】证明：因为为的中点，为的中点， 所以是的中位线，.又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为为正三角形，为的中点，所以.又，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.又因为，，所以平面.(3)因为平面，，所以平面，即是三棱锥的高.因为，为的中点，为正三角形，所以.由平面，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.考法四空间距离【例4】（2020·全国专题练习）在棱长为的正方体中求出下列距离： （1）点到面的距离；（2）线段到面的距离；（3）点到面的距离；（4）到平面的距离.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因为正方体，则平面，所以点到面的距离为边长；（2）因为平面，且平面，所以线段到面的距离为；（3）因为平面，所以点到面的距离为面对角线的AC的，即；（4）设到平面的距离为h，三棱锥的体积为V，在中，，则的面积为，利用等体积法可得：，所以【一隅三反】 1．（2020·高一期末）如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，连接、，设交点为点，连接，则平面，且，底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，，， 设点到平面的距离为，由，即，解得．故选：A.2．（2020·全国）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2B．C．D．1【答案】D【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:,解得:3．（2020·全国高一课时练习）已知是长方体，且，，.（1）写出点A到平面的距离；（2）写出直线AB到平面的距离；（3）写出平面与平面之间的距离.【答案】（1）（2）（3）【解析】如图. （1）点A到平面的距离；（2）∵平面，∴AB到平面的距离；（3）∵平面平面，∴平面与平面之间的距离.