新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.4.3《正余弦定理的实际运用》（解析版）

6.4.3正余弦定理的实际运用（精讲）思维导图 常见考法 考法一正余弦定理的综合运用【例1-1】（2020·内蒙古赤峰市）在的中，角，，的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，及正弦定理得，由余弦定理得，又，所以；（2）由及，得，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的取值范围为.【例1-2】．（2020·全国高一）在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值.【答案】答案见解析.【解析】选择条件①，，，，，选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.【一隅三反】1．（2020·江苏南京市·南京师大附中高一期末）在中，设角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），则的周长 .，，周长的取值范围是.2．（2020·吉林白城市·高一期末（文））的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可得：，可得，为三角形内角，，可得，，．（2），，由余弦定理可得，，，．3．（2020·沙坪坝区·重庆高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）． ，，，，．（2），，，当时取得等号，面积的最大值.考法二正余弦定理与三角函数综合运用【例2】（2020·湖北荆门市·高一期末）已知（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.令，即时，取最大值;所以，此时的取值集合是；（2）由，得，因为，所以，所以，则；在中，由余弦定理， 得，即，当且仅当时取等号，所以的面积因此的面积的最大值为.【一隅三反】1．（2020·黄梅）已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1），又，所以，所以当即时，取得最小值，所以，（2）因为，，所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.2．（2020·甘肃省高三期中（理））已知函数. （1）当时，求的值域；（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】（1），∴，，∴.（2）∵由题意可得有，，化简可得：，∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得：，∵，∴，所以.3．（2020·江苏）已知函数，．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．【答案】（1）的最小值是，最小正周期是；（2），．【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是； （2），则，，，，，，，由正弦定理，得，①由余弦定理，得，即，②由①②解得，．考法三正余弦定理在几何中的运用【例3】（2020·河北邢台市·高一期中）如图，在中，AD平分，且.（1）求的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）在中，，在中，.因为AD平分，且，所以.（2）由正弦定理及（1）可知.因为，，所以，.因为，所以. 【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.【答案】【解析】因为，，，所以，又，则△的面积为，又，所以在△中由正弦定理得：，则.故答案为：；.2．（2020·成都市第十八中学校高一期中）在中，点在边上，， （1）若，求（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得，(负值舍去).（2）在中，∵，，∴，在中，由正弦定理得，∴①，在中，由正弦定理得，∴②，由①②得，∴，即，∴，即，∴. 3．（2020·株洲市九方中学高一月考）如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.4．（2020·全国高一课时练习）在四边形ABCD中，AD//BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3． （1）求AD的长；（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，∴由余弦定理得cos120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为．（2）∵AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝．如图过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，则AE＝AB＝，CF＝BC＝，∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×(＋)＝．考法四正余弦定理在实际生活中的运用【例4】（1）（2020·江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（  ） A．mB．mC．mD．m（2）（2020·安徽亳州市·高一月考（理））如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15°、山脚处的俯角为45°，已知，则山的高度为（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）D【解析】（1）∵中，，，∴.又∵中，m，∴由正弦定理可得：，则m.故选：A.（2）∵，∴，∴，又，，∴，在中，，∴，∴.故选：D．【一隅三反】 1．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（  ）A．akmB．C．D．2akm【答案】C【解析】由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，由余弦定理得，，所以，即门店A，B间的距离为.故选：C.2．（2020·高一期末）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（）A．50米B．57米C．64米D．70米【答案】D【解析】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，则李华的行走路线，如图所示，在中，因为，由余弦定理可得：米，即李华回到自家楼下至少还需走70米.故选：D. 3．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故选：C.4．（2020·四川绵阳市·高一期末）如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快10(nmile/h)．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v的取值范围是_____． 【答案】【解析】不妨设海港所在点为，作图如下：根据题意可得，因为，根据余弦定理可得：，即，解得，又要满足三角形三边关系，即可得：，即.故的取值范围是.故答案为：