新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.3.2《平面向量数量积的坐标表示》（解析版）

6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精讲）思维导图 常见考法 考法一数量积的坐标运算【例1】（1）（2020·全国高一）向量，，则（）A．1B．C．7D．0（2）（2020·全国高一）已知向量，，则与的夹角是（）A．B．C．D．（3）（2020·全国）已知，，则在上的投影的数量为（）A．B．C．D．（4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量，，若，则等于（）A．B．C．D．（5）（2020·黑龙江双鸭山市·）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______.【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）【解析】（1）因为，，所以，故选：B. （2）设与的夹角为，则，又，，即与的夹角是.故选：C（3）由题意知，，在上的投影的数量为，故选：B.（4）因为，所以，解得：，故选：D（5）因为与的夹角为钝角，且不反向，，即解得当两向量反向时，存在使即，解得所以的取值范围.故答案为：.【一隅三反】1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量，则（）A．1B．C．D．6【答案】D【解析】因为所以故选：D2．（2020·广东高一期末）向量，，则（）A．B．C．与的夹角为60°D．与的夹角为【答案】B【解析】∵向量，，∴，∴.故选：B.3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量，则向量在上的投影为（）A．3B．C．D．【答案】A【解析】因为向量， 所以向量在上的投影为故选：A4．（2020·北京高一期末）已知向量，，若，那么m的值为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】向量，，若，则，即，解得.故选：C.5．（2020·沙坪坝区·高一期末）已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，与的夹角为，，，在方向上的投影为．故选：．6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量，，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，,，.故选：A.7．（2020·河北唐山市·高一月考）平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（） A．B．C．1D．2【答案】A【解析】由已知，，，∵与的夹角与与的夹角互补，∴，解得．故选：A．8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；【答案】【解析】由题意，即，，∴，若，则，解得，综上的范围是．故答案为：．考法二巧建坐标解数量积【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（　　） A．[﹣，0]B．[0，]C．[﹣，+∞）D．[﹣，0]【答案】A【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：故可得，设点，因为点在线段上，故可得.故，故当时，取得最小值，当或时，取得最大值.故.故选：A.【一隅三反】1．（2021·湖南）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____. 【答案】【解析】以为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，，，，所以，，则．故答案为：2．（2020·山东济南市·）在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．－1D．-2【答案】C【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值． 故选：C．3．（2021·山西）已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，设，，.故，故，故或.，故，故或.，当时，有最小值为.故选：. 考法三数量积与三角函数综合运用【例3】（2020·广东揭阳市·高一期末）已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.【解析】（1）因为，所以，于是，又，所以；（2）.因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值2；当，即时，取到最小值.【一隅三反】1.向量，且，则的值为（　　）A．1B．2C．D．3【答案】A【解析】由题意可得，即．∴，故选A．2．（2020·高一期末）已知是锐角，，，且，则为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°【答案】B【解析】∵，，且， ∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.3．（2021·新疆）已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)∵,∴,即.代入,得,又,则,.则..(2)∵,,∴.又,∴.∴==.由,得.4．（2021·江苏）已知向量(1)若，求证：; (2)若向量共线，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）当时，又（2）因为向量共线，即当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：又另解：由得所以考法四数量积与几何的综合运用【例4】（2020·陕西渭南市·高一期末）已知向量，，.（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.，，故知，∴实数时，满足条件.（2）若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得.【一隅三反】1．（2020·高一期末）已知，，，则 的形状是（）．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】根据已知，有，，，因为，所以，即．故为直角三角形故选：A2．（2020·全国高一课时练习）已知、、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由题意得，因为，所以所以是直角三角形又，，，是等腰直角三角形（2）解：设点，则，，且，解得，，，，，，，．3．（2020·全国高一课时练习）平面直角坐标系中，已知向量，且．（1）求与之间的关系式；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）16.【解析】（1）由题意得， 因为，，所以，即，所以与之间的关系式为：①（2）由题意得，，因为，所以，即，②由①②得或当时，，，则当时，，，则所以，四边形的面积为16.