新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.2.2《平面向量的数量积》（解析版）

6.2.2平面向量的数量积（精讲）思维导图 常见考法 考法一向量的数量积【例1】（1）（2021·巴音郭楞蒙古自治州）已知，，与的夹角为60°，则________.（2）（2021·江苏高一）已知是边长为6的正三角形，求=____________（3）（2020·江西宜春市·高一期末）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则【答案】（1）10（2）（3）【解析】（1）.故答案为：10.（2）如图是边长为的正三角形，所以，，所以，故答案为：（3）由题意画出示意图，如图， 则.【一隅三反】1．（2020·全国高一）在中，，，，则的值为（）A．B．5C．D．【答案】D【解析】，，，.故选：D.2．（2020·全国高一）若，，则的最大值为________.【答案】6【解析】，所以.故答案为:3．（2020·福建泉州市·高一期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A．0B．2C．4D．【答案】C【解析】如图，根据题意：，，且，，， ．故选：．4．（2021·江苏高一）在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，所以，，因此.故选：B.考法二向量的夹角【例2】（1）（2021·广东潮州）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（）A．1B．-1C．D．-（2）（2021·河南信阳市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为()A．B．C．D．【答案】（1）C（2）D【解析】（1）平面向量，满足，且， ，解得.故选：C（2）∵非零向量，满足，∴平方得，即，则，由，平方得得，即则，则向量与的夹角的余弦值，，故选D.【一隅三反】1．（2021·胶州市）已知，，则与的夹角为_________.【答案】【解析】根据已知条件，去括号得：，所以，故答案为：2．（2021·河南）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为【答案】120°【解析】. 设向量与向量的夹角为则.又，所以3．（2021·陕西西安市）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．【答案】【解析】因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，，设向量与的夹角为，则因为，所以故答案为：考法三向量的投影【例3】（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知，为单位向量，，则在上的投影为（）A．B．C．D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为向量，，且与的夹角为所以，故选：B（2）因为，为单位向量，所以，又，所以所以，即， 所以，则，，所以在上的投影为.故选：C.【一隅三反】1．（2020·高一月考）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（）．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.2．（2020·江西省崇义中学）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为()A．1B．C．D．【答案】D【解析】,,.,,向量在向量上的投影的数量为.故选：D.3．（2020·全国高一专题练习）设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，. ，.设与方向相同的单位向量为，向量和向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为.故选:D.4．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（）A．－B．－C．D．【答案】A【解析】依题意得，，，因此在方向上的投影为，故选A.考法四向量的模长【例4】（2020·河北邢台市·）已知，，且向量与的夹角为，则（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为，，与的夹角为，所以，则.故选：A.【一隅三反】1.（2020·台州市金清中学高一期末）已知，，与的夹角为，那么等于【答案】 【解析】，.2．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）已知、满足：，，，则_________.【答案】【解析】，因为，，所以，所以，可得，故答案为：.3．（2020·广东佛山市·高一期末）已知，，则的最大值等于【答案】【解析】因为，，所以，当且仅当，即时取等号，4．（2020·浙江杭州市·高一期末）若平面向量满足，则_________．【答案】【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为： 考法五平面向量运算的综合运用【例5-1】（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是（）A．①④⑤B．②③④C．①⑤D．②③【答案】C【解析】①因为为单位向量，且，所以，则，故①正确；②若，满足，但不能推出存在唯一的实数，使得，故②错误；③向量的数量积运算不满足消去律，故③错误；④若，则与不一定共线，故④错误；⑤由于，所以，故⑤正确．故选：C．【例5-2】（2020·全国高一）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为（）A．B．4C．-5D．5【答案】A【解析】因为点是线段的中点，所以向量，所以，又因为向量，方向相反，所以.故选：A.【一隅三反】 1．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（）（1）若，则；（2）若，则（3）若，则（4）若，则或A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】已知非零平面向量，，，（1）若，则，所以或，即（1）错；（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；（3）若，则，所以，则；即（3）正确；（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.2．（2020·湖北高一期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，即，由基本不等式的性质可知，，，所以．故选：C．3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故选：B4．（2020·浙江高一期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，非零向量的夹角为，且，则，不等式对任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因为，所以，即，可得，即实数的取值范围为.故选：A.