新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.4.2《正余弦定理》（解析版）

6.4.2正余弦定理（精讲）思维导图 常见考法 考法一余弦定理【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）已知在中，，，，则c等于（）A．B．C．D．5（2）（2020·江西南昌市）在锐角中，若，，，则（）A．B．C．D．（3）（2020·全国高一课时练习）已知钝角三角形的三边长分别为，则的取值范围是（）A．(-2,6)B．(0,2)C．(0,6)D．(2,6)【答案】（1）A（2）D（3）D【解析】（1）在中,,,,由余弦定理得,所以.故选:A（2）因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得又因为,由余弦定理可得代入可得所以故选:D（3）由题：钝角三角形的三边长分别为 解得：.故选：D【一隅三反】1．（2020·全国高一）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，右a=1，c=2，∠B=600，则b=（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】因为，，，则由余弦定理可得．故选：．2．（2020·全国高一课时练习）在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】中设,由余弦定理可得.因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,故选:B.3．（2020·北京人大附中高一期末）在中，，，，则等于（）A．B．3C．D．21【答案】A【解析】因为，，，所以，即，故选：A.考法二正弦定理【例2】（1）（2020·辽宁锦州市·高一期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则角为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°（2）（2020·湖北黄冈市·高一期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知 ，，，则（）A．B．C．D．（3）（2020·全国高一课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（  ）A．B．C．D．2【答案】（1）B（2）B（3）D【解析】（1）由正弦定理得得得，，，得或，故选：B．（2）因为，所以为钝角，，为锐角．由得，所以．故选：B．（3）A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则2．故选：D．【一隅三反】1．（2020·和县第二中学）在中，，则（）A．B．或C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，，，或.故选：B.2．（2020·吉林长春市实验中学）在中，若，，，则等于（） A．B．或C．D．或【答案】D【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选：D.3．（2020·高一期末）已知△ABC中，，则b等于（）A．2B．1C．D．【答案】D【解析】由正弦定理，得.故选：D．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，．，．．由正弦定理可得：，．故选：．5．（2020·湖南岳阳市）在中，若，则角的值为（）.A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以故选：B考法三正余弦定理综合运用【例3-1】（射影定理）（2020·安徽和县）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则 bcosC+ccosB＝（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，故选：C.【例3-2】（2020·深圳市）在中，角，，的对边分别为，，，若，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因为，所以，故选：B【例3-3】（判断三角形形状）（2020·江苏省）在中，，，则一定是A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】D【解析】中，，,故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D.【例3-4】（三角形个数判断）（2020·）若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C 判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．【一隅三反】1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以由正弦定理可得，因为，所以因为角A为锐角，所以故选：A2．（2020·四川成都市·高一开学考试）在中，若，则是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】将，利用正弦定理化简得：，把代入得：，整理得：，即或，，为三角形内角，，，即，则为直角三角形，故选：A.3．（2020·安徽宿州市·高一期末）设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（）A．2B．4C．D．8【答案】A【解析】∵，∴，化为：.∴，∵，∴， ∵，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为2.故选：A.4．（2020·浙江湖州市）在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则  A．B．C．D．【答案】D【解析】，由余弦定理可得：，可得，，，可得：，可得：，，由，可得：，，．故选D．5．（多选）（2020·广东高一期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解【答案】ABC【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC. 6．（2020·高一期中）若满足，的有两个，则边长的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以,因此，选D.考法四三角形的面积公式【例4】（1）（2020·全国高一）在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____.（2）（2020·重庆高一开学考试）在中，，，，则的面积等于（3）（2020·广东深圳市·宝安第一外国语学校高一期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根据正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故答案为：（2）由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以． （3）因为A＝，b＝1，，所以，所以，由余弦定理得，所以【一隅三反】1．（2020·湖南长沙市·高一期末）在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.故选：D.2．（2020·全国高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.【答案】【解析】∵，由余弦定理可得，化简得，即，∵，∴.又∵a=4，b=6，代入，得，解得或（舍去），∴.故答案为:3．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高一月考）在中，已知，， 的外接圆半径为1，则（）A．B．C．D．6【答案】C【解析】已知A=，得sinA=，∵b=1，R=1，根据正弦定理，得，sinB=,∵，易知B为锐角，∴B=,∴C=根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.4．（2020·全国高一专题练习）在中，，，其面积为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由于，故答案为C.