新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.2.1《平面向量的线性运算》（解析版）

6.2.1平面向量的线性运算（精讲）思维导图 常见考法 考法一向量的加法运算【例1-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．【答案】见解析【解析】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．（1）；（2）； （3）；（4）.【例1-2】（2020·全国高一课时练习）如果表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向东走；（2）向东走；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】由题意知：表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”（1）表示“向东走”（2）表示“向东走”（3）表示“向东北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向东南走”【例1-3】（2021·重庆市大学城）向量﹒化简后等于（）A.B.0C.D. 【答案】D【解析】,故选D.【例1-4】（2020·湖南长沙市·高一期末）已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故A正确；由，故B正确；根据平行四边形法则，可得，故C正确，D不正确.故选：D.【一隅三反】1.如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【答案】见解析【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．          ①          ②方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即即为所求.2．（2020·北京高二学业考试）在平行四边形中，等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得，故选：A.3．（多选）（2020·全国高一）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由向量加法的平行四边形法则可知，故A正确；，故B不正确；，故C正确； ，故D正确.故选：ACD.4.化简(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋.(4)＋＋；(5)(＋)＋＋.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】 (1)＋＝＋＝.(2)＋＋＝＋＋＝＋＝.(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.(5)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.方法三 (＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝.考法二向量的减法运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在各小题中，已知，分别求作．【答案】见解析【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，， (1)(2)(3)(4)【例22-2】．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④.其中结果为的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①；②；③；④；以上各式化简后结果均为,故选:D【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）如图，已知向量，求作向量，．【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点O，作，，，， 则，．2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.【答案】见解析【解析】在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形中（如图），（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B4．（2020·全国高一课时练习）化简______. 【答案】【解析】．故答案为：．5.化简（1）(－)－(－)(2)－＋；(3)＋＋－－．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）方法一(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.方法二(利用－＝) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.方法三(利用＝－) 设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.(2)－＋＝＋－＝－＝0．(3)＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋D＝＋＋＝＋＋＝0＋＝．考法三向量的数乘的运算【例3-1】（2020·全国高一课时练习）把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1），；（2），；（3），；（4），．【例3-2】（2020·全国高一课时练习）如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示．【答案】，，【解析】【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（2）原式； （3）原式．2．（2020·全国高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.3．（2020·全国高一课时练习）如图，解答下列各题：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）．【解析】由题意知，，，，，，则（1）．（2）．（3）．（4）．考法四向量的共线定理【例4-1】（2020·全国高一课时练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):(1);(2);(3).【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.【解析】(1)∵,∴,∴共线.(2)∵,∴,∴共线.(3)假设,则,∴.∵不共线,∴此方程组无解.∴不存在实数,使得,∴不共线.【例4-2】（2020·全国高一课时练习）(1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线.(2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求k的值.【答案】(1)见解析(2)-8【解析】(1)，， ，与共线.又与有公共点B，三点共线.(2).三点共线，共线.∴存在实数使，即..与不共线，.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量,是否共线（其中是两个非零不共线向量）．（1）；（2）；（3）．【答案】(1)与共线；(2)与共线；(3)与不共线．【解析】（1）∵，∴与共线．（2）∵，∴与共线．（3）设，则，∴．∵与是两个非零不共线向量，∴，．这样的不存在，∴与不共线．2．（2020·新泰市第二中学高一期中）设是不共线的两个非零向量.（1）若，求证：三点共线；（2）若与共线，求实数的值； （3）若，且三点共线，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.【解析】证明：（1），所以.又因为为公共点，所以三点共线.（2）设，则解得或所以实数的值为.（3），因为三点共线，所以与共线.从而存在实数使，即，得解得所以.3．（2020·洛阳市）为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由有,所以,因为，，三点共线,所以,则,故有,,选A.