新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)8.6《空间直线、平面的垂直》（2）（解析版）

8.6空间直线、平面的垂直（2）（精讲）思维导图 常见考法考法一线线角【例1】（2021·广西河池市·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形 为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，由平面，可得，则，，因为，为的中点，所以，．故选：D.【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】设正方体的棱长为，连接，，， 因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．-C．2D．【答案】A【解析】如图所示， 分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角为异面直线与所成角．设，则，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．3．（2021·陕西西安市·高一期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示： 取BC的中点G，连接EG，FG，因为E，F，G都为中点，所以,所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，因为，所以又因为，，所以所以,因为，所以故选：A考法二线面角【例2】（2021·河南高一期末）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（  ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】∵，，∴，∵，，，平面，∴平面，∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，故选：A． 【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，过作，连接，在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以 故故选：A2．（2021·浙江高一期末）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：因为F、G分别为CD、CE的中点，所以且，又因为平面，平面，所以，,所以，，所以四边形ABGF为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为平面，平面ACD，所以，所以，又为等边三角形，F为CD的中点，所以，又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，又平面CDE，则，连接DG，BD，如图所示，则即为直线和平面所成角，设，在中，，在直角梯形ABED中，，在中，，所以，所以直线和平面所成角的正弦值为.3．（2021·河南焦作市·高一期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点. （1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为底面，底面，所以，因为，分别为正方形的边，的中点，，所以，所以，由所以，所以，因为平面，平面，，所以平面.（2）由（1）可知平面，设，如图，连接，则即为直线与平面所成线面角，因为，所以，，在中，由于，所以，所以，所以，所以在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为. 考法三面面角【例3】（2021·全国高一课时练习）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】三棱台中，，且，则，又，且,所以平面，所以为的二面角，因为为等边三角形，所以.故选：C【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点，连接、，因为，，所以，，所以即为二面角的平面角，连接，，，所以，又因为，在中，，所以二面角的余弦值为，故选：B2．（2021·浙江高一期末）如图，已知平面．（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）平面，平面，，，，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（1）得平面，平面，，，即为二面角的平面角，在直角三角形中，，则，，即二面角的大小为.3．（2021·陕西西安市·高一期末）如图所示，在长方体中，，点E是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）如图所示： 连接交于点O，连接，则O为的中点.∵E是的中点，∴又平面，平面，∴平面.（2）由题意可知，四边形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.∵平面，平面，，∴平面.又平面，∴，即.（3）在中，，，，∴∵平面平面，∴.∵平面，平面，，∴平面. 又∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在A中，∵，，，∴，∴二面角的正切值为.