新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)6.1《平面向量的概念》（解析版）

6.1平面向量的概念（精讲）思维导图 常见考法考法一向量与数量的区别【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（）A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B 【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（）A．力B．速度C．质量D．加速度【答案】C【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是()A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D3．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.考法二向量的几何表示【例2】（2020·全国高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量，，； （2）求的模．【答案】（1）见解析；（2）米【解析】（1）作出向量，，；如图所示：（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.【一隅三反】1.（2021·江苏高一）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.【答案】见解析【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示： 2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）,点A在点O正南方向；（2）,点B在点O北偏西方向；（3）,点C在点O南偏西方向.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】如图. 3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】（1）如图，即为所求.（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，∴. 考法三相等向量与共线向量【例3】（2020·全国）如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.（1）图中与共线的向量有________；（2）图中与相等的向量有________；（3）图中与模相等的向量有_________________；（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）与相等吗？【答案】（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等【解析】根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、；（2）与相等的向量有；（3）图中与模相等的向量有，，，；（4）相等；（5）与不相等；故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则（1）与向量相等的向量有______；（2）与向量共线，且模相等的向量有______；（3）与向量共线，且模相等的向量有________.【答案】【解析】（1）与向量相等的向量有；（2）与向量共线，且模相等的向量有；（3）与向量共线，且模相等的向量有.故答案为：；；2．（2020·全国高一）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______； （3）模相等的向量有______.【答案】和，和和，和【解析】（1），，故和，和是共线向量.（2）和，和是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）.3．（2020·全国高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与共线的向量有哪些？（3）请一一列出与，，.相等的向量．【答案】（1），，，.（2），，，，，，，，.（3）与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，.【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，，.（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线.（3）由相等向量的定义得：与相等的向量有，，；与相等的向量有，， ；与相等的向量有，，.考法四平面向量概念的区分【例4】（2020·天津静海区·高一学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）【答案】D【解析】零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若∥∥，则∥．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，时，若，则与不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．2．（2020·安徽六安市·高一期末）下列说法不正确的是（）A．平行向量也叫共线向量B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；故选：D2．（2021·甘肃兰州市）下列命题中正确的个数为（）①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与共线，则、、、四点共线；③若非零向量与共线，则；④四边形是平行四边形，则必有；⑤，则、方向相同或相反.A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题；②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题； ③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题；④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题；⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题.故选：B.