新教材人教版高中数学必修第二册(精讲)7.1《复数的概念》（解析版）

7.1复数的概念（精讲）思维导图常见考法 考法一实部虚部的辨析【例1】（1）（2021·湖南永州市·高二期末）已知是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．（2）．（2020·河北秦皇岛市·秦皇岛一中高二月考）已知，且，则的值分别为（）A．B．C．D．（3）（2020·江苏宿迁市·高二期中）的平方根是________.【答案】（1）A（2）C（3）【解析】（1）复数的虚部为.故选：A.（2）由题意知，，解得，故选:C.（3）由得解.【一隅三反】1．（2020·上海静安区·高二期末）的平方根为______．【答案】【解析】，因此，的平方根为.故答案为.2．（2020·北海市教育教学研究室）复数（是虚数单位）的实部为（） A．2B．C．D．0【答案】A【解析】根据复数的基本概念，可得复数的实部为2．故选：．3．（2020·青海西宁市）若复数，则的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为复数，所以的共轭复数，虚部是，故选：D．4．（2020·湖北十堰市·车城高中高二月考（理））以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的虚部为2，的实部为2，则复数为故选：B.考法二复数的分类【例2】（2020·吉林高二期末（文））已知复数（是虚数单位）（1）复数是实数，求实数的值；（2）复数是虚数，求实数的取值范围；（3）复数是纯虚数，求实数的值.【答案】（1）；（2）且；（3）或.【解析】（1）复数是实数，则，解得；（2）复数是虚数，则，解得且； （3）复数是纯虚数，则，解得或．【一隅三反】1．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知复数，其中为虚数单位.（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）若复数是实数，则所以或.（2）若复数是纯虚数，则所以.2．（2020·江苏徐州市·高二期末）复数．（1）实数m取什么数时，z是实数；（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线上．【答案】（1）或；（2）；（3）或【解析】复数．（1）由，解得或．或时，复数为实数．（2）由，解得．时，复数为纯虚数．（3）由．化为：，解得或．或，对应点在直线上．考法三复数的几何意义--复平面【例3】（1）（2020·四川成都市）已知复数(虚单位)，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）（2020·高二期末）在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）由复数的几何意义知，复数在复平面内对应的点为，即在第二象限，故选：B（2）∵在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，∴解得∴实数m的取值范围是故选：D.【一隅三反】1．（2020·北京101中学高二期中）在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】复数的共轭复数为，其对应的点位于第四象限.故选：D.2．（2020·北京高二期末）设复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】复数的共轭复数，则对应点的坐标为，该点位于第四象限，故选：D.3．（2020·吉林松原市·扶余市第一中学高二期中（文））若（是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对应的点为，因为对应的点位于第四象限，得，解得.故选：C.考法四复数的几何意义--模长 【例4】（1）（2021·湖南郴州市·高二期末）设i虚数单位，复数，则（  ）A．B．5C．1D．2（2）（2020·全国高二）已知，其中､是实数，则（）A．B．C．D．（3）（2020·广东佛山市·高二期末）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）C（3）D【解析】（1）故选：A（2）因为，所以，，解得，，所以，故选：C.（3）z在复平面内对应的点为，则复数,则，由复数的模长公式可得，故选：D【一隅三反】1．（2020·湖北随州市·高二月考）已知为虚数单位，实数，满足，则（）A．10B．C．3D．1【答案】B【解析】由，得，，．则．故选：．2．（2021·宁夏银川市）复数(其中i为虚数单位)，则（）A．5B．C．2D．【答案】B 【解析】因为，所以所以.故选：B.3．（2020·河北秦皇岛市·秦皇岛一中高二月考）已知复数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，由，表示为以为圆心，为半径的圆，圆心到原点的距离为，所以圆上点到原点距离最小为，因为，所以最小值为，故选:A.4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知复数满足条件，那么的最大值为______．【答案】4【解析】因为，所以复数对应的点在单位圆上，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而．所以的最大值为.故答案为：4