新教材人教版高中数学必修第二册(精练)8.6《空间直线、平面的垂直》（2）（精炼）（解析版）

8.6空间直线、平面的垂直（2）（精炼）【题组一线线角】1．（2021·河南驻马店市·高一期末）在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为四棱锥中，底面，，所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.2．（2021·河南焦作市·高一期末）如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（） A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，所以即为异面直线与所成的角（或补角），易得，所以.故选：C．3．（2021·浙江高一期末）已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)中，，则直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设正四面体的棱长为3，则,过作交于点,则与所成角即为与所成角，,,在中，,即,同理, 所以.故选：A.4．（2021·全国高一课时练习）正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图：∵，∴直线与直线所成角为，∵是等边三角形，∴，∵平面，∴直线与平面所成角为，∵是等腰直角三角形，∴，故选：D. 5．（2020·全国高一单元测试）如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在三棱柱中，，异面直线与所成的角为或其补角，连接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在△中，，即异面直线与所成角的余弦值为．故选：A． 6．（2020·浙江高一期末）在正方体中，和分别为，和的中点．，那么直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，所以是异面直线和所成的角或其补角，设异面直线和所成的角为，设正方体的边长为，，，则.故选：A. 7．（2020·浙江高一期末）已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接，∵四边形为菱形，，.又为直角三角形，，得，∴四边形为正方形.连接交于点，（或其补角)为异面直线 与所成的角，由于为正方形，，故异面直线与所成的角为90°.故选：A.8．（2019·雁塔校区高一月考）在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，取的中点，连接、，、分别为、的中点，，所以，为异面直线与所成的角，设，则，，由，可知，，即异面直线与所成的角等于.故选：B.9．（2021·浙江高一期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，. （Ⅰ）若是与的交点，求证：平面；（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（1）连接与交于点，连.，，且是和的中点，，,和为平面内的两条相交直线，平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，，所以，故 10．（2021·六盘山高级中学高一期末）已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】【解析】连接，，在正方体中，易知，所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，又，所以.即异面直线与所成角的余弦值为.【题组二线面角】 1．（2021·全国高一课时练习）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证明：(1)为圆O直径∠ACB=90°即AC⊥BCPA⊥面ABC，PA⊥BCACPA=ABC⊥面PAC.(2)BC⊥面PAC，∠BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形中，，在直角三角形中，,在直角三角形中，tan∠BPC=. 故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.2．（2020·浙江高一期末）如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，，．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过P作PE⊥CD，交CD于点E，连接BE∵，所以CE=2，又因为,且所以∴BE⊥BC∴AD⊥BE又因为平面平面且PE⊥BC∴AD⊥PE∴AD⊥面PEB∴ （2）∵∴与平面所成角即为EC与平面所成角过E作EF⊥PB，交PB于F点，连接CF，易知EF⊥平面PBC所以∠ECF为与平面所成角，因为PE=2，根据等面积法得到所以与平面所成角的正弦值为.3．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．（1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形中，，，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，∵，，∴，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴平面平面，过点在平面内作，垂足为点，平面平面，平面平面，，平面，平面，∴即为直线与平面所成角，中，，，，所以，，且， ∴，∴，∴直线与平面所成的角的正弦值为.4．（2020·江苏高一期中）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点．（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连，则又面，面，平面；（2）连，取中点，连，则 由面与底面垂直，且面，可得面则为直线与底面所成角设，则；，则；，即则直线与底面所成角的大小为5．（2021·河南洛阳市·高一期末）如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：平面,平面..又,,平面.平面平面.又平面平面,平面,,平面. 又平面,.(2)由(1)知平面,连结,则就是在平面内的射影.就是与平面所成的角.,,,..在中,.与平面所成角的正弦值为.6．（2021·浙江高一期末）在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交于，连接.则点为的重心，有.因为，所以，且平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，，，所以，故，所以，且，平面，所以平面.过作的平行线，交于.则平面.所以直线与平面所成角为.且，，，所以，得. 所以直线与平面所成的角为，即直线与平面所成的角为.7．（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）作的中点,连接,因为三棱柱所有的棱长均为1,又四边形为正方形，,面又四边形是菱形，所以面（Ⅱ）作因为三棱柱,由题知,所以△是等边三角形，△是等边三角形，,面,面，所以， 面,是面的垂线，是平面的斜线,即为所求角.在三角形中由平面几何知识得故直线和平面所成角的正弦值为【题组三面面角】1（2021·河南高一期末）如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）证明：设，连接，则是中点，又是中点，∴，又平面，平面，∴平面．（2）平面，平面，∴，同理，又正方形中， ，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）∵平面，平面，∴，∴是二面角的平面角，由已知，而，分别是中点，∴，∴．即二面角的大小为．2．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥中，，底面为矩形，平面平面，O､E分别是棱､的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）取中点，连接，因为是中点，∴，且，又是矩形，，是中点，∴，∴是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面．（2）取中点，连接，是矩形，是中点，则，又，∴，而平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，．，平面，∴平面，而平面，∴，∴（或其补角）是二面角的平面角．设，则，，，∴，，∴．∴二面角的大小为．3．（2021·宁夏银川市·高一期末）如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且 ，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故；（2）证明：在底面中，，，.，，又因为侧棱底面，则底面面，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故， ，．设，则．，故，故．4．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）求直线PA与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）60. 【解析】（1）因为侧棱平面，所以为直线在平面上的射影，，故即为直线PA与平面ABCD所成的角，又，所以，所以直线PA与平面ABCD所成的角为；（2）证明：因为侧棱平面，平面，所以，又，，所以平面，，由可得，又，所以平面，，因为，，所以平面；（3）由（2）知，所以为二面角的平面角，不妨设，则，，，在中，由余弦定理得，所以二面角的大小为60.5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证明：（1）取的中点，连接，于是，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而面，面，所以直线平面；（2）连接，∵四边形为菱形，，为的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，平面平面，且平面平面，∴平面，又，∴，∴就是二面角的平面角，设棱长为2，则，∴，∴二面角的大小为.6．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图所示，在三棱锥中，平面， ，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取线段中点，连接、、，则，且，从而或其补角就是直线与所成的角.平面，平面，，同理可得，为的中点，则，，，为的中点，则，，，，则，由余弦定理可得，因此，异面直线与所成角的余弦值为；（2）可知二面角的平面角与二面角的平面角互补. 在平面内作直线于，连接，平面，平面，，同理可得，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，由余弦定理得，由等面积法可得，，在中，，二面角的正切值为.7．（2021·河南洛阳市·高一期末）在棱长为2的正方体中，是底面的中心.（1）求证:平面;（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，设，连接. 且，是平行四边形..又平面，平面，平面.（2），，且，平面.平面平面，且交线为.在平面内，过点作于，则平面，即的长就是点到平面的距离.在矩形中，连接，，则，.即点到平面的距离为.