新教材人教版高中数学必修第二册(精练)8.5《空间直线、平面的平行》（精炼）（解析版）

8.5空间直线、平面的平行（精炼）【题组一线面平行】1．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为（）A．①B．①②C．②D．①②③【答案】C【解析】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行； 故选：C．2．（2021·全国高一课时练习）已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】②中，，而平面，平面，故平面；①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；③中，同样平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行； 故选：B．3．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（）A．CEB．CFC．CGD．CC1【答案】B【解析】如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于，又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，可得CF∥平面A1BD，故选：B.4．（2021·全国高一）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（　　） A．①③B．①④C．①③④D．②④【答案】B【解析】对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面；由于平面，平面，所以平面；由于，所以平面平面，所以平面，所以①正确.对于②，如图，设与相交于，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，因为与平面相交，所以与平面不平行，所以②错误.对于③，如图，设是的中点，因为是的中点，所以，而与平面相交，所以与平面不平行，所以③错误. 对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，所以④正确.综上所述，正确的序号有①④.故选：B.5．（2020·济南大学城实验高级中学高一期中）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，如下图所示，连接， 在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则， 、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，若平面，平面，平面平面，则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.6．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解； 【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，7．（2020·湖南岳阳市·高一月考）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，∵BC⊥BD，, ∴三棱锥A﹣BCD的体积．8．（2020·云南高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为的中点，连结，，∵为的中位线，∴，且，又，，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）∵是的中点，∴三棱锥，又，，∴是等边三角形，∴，到的距离为，又，∴，∵平面，∴，∴三棱锥的体积． 9．（2020·四川绵阳市·高一期末）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，平面，，，是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）证明：连接交于点，连接.∵底面是平行四边形，∴点为的中点.∵点是棱的中点，∴为的中位线，∴，又平面，平面，∴平面. （2）∵是棱的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，∴点到平面的距离，∴三棱锥的体积，即三棱锥的体积为3.【题组二面面平行】1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知直线a与平面，能使的充分条件是（）①②③④A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】D【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.综上：②④正确，故选：D.2．（2020·全国高一课时练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A．B． C．D．【答案】D【解析】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；对：MC1与是相交直线，所以A不正确；对：因为//，，//，又容易知也相交，平面；平面，故平面//平面故选：.3．（2020·江苏苏州市·常熟中学高一月考）已知，为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A．，，B．，，C．，，D．，， 【答案】B【解析】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A错，由，可得，再由线面垂直的性质可得，B正确；C中两平面，没有任何关系，不能得出平行，C错；由，，可以得出，不能得出平行，D错．故选：B．【题组三平行的综合运用】1（2020·全国高一课时练习）（多选题）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：其中推断正确的序号是（）A．FG∥平面AA1D1D；B．EF∥平面BC1D1；C．FG∥平面BC1D1；D．平面EFG∥平面BC1D1【答案】AC【解析】在正方体中，，，分别是，，的中点，，，，平面，平面，平面，故A正确；，与平面相交，与平面相交，故B错误；，，分别是，，的中点，，平面，平面，平面，故C正确；与平面相交，平面与平面相交，故D错误． 故选：AC．2．（2020·全国高一单元测试）（多选）如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（）A．平面平面B．直线平面C．直线平面D．直线平面【答案】ABC【解析】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理,平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面 ，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.故选：ABC3．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：①平面；②平面；③平面；④平面平面；⑤平面平面.其中推断正确的序号是_________.【答案】①③⑤【解析】对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；对于③，，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得 ，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.故答案为：①③⑤.4．（2020·全国高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:由图可知,,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以, 因为,故平面MNRH//平面,因为截面,所以平面,线段MP扫过的图形为,由知,,在中,,即,所以，所以,即为直角,故线段长度的取值范围为,即,故选:B5．（2020·全国高一课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，， ∵分别为所在棱的中点，则，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF．∵，∴四边形为平行四边形，∴，又平面AEF，AE⊂平面AEF，∴∥平面AEF，又，∴平面∥平面AEF．∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，∴点P必在线段MN上．在中，．同理，在中，可得，∴为等腰三角形．当点P为MN中点O时，，此时最短；点P位于M、N处时，最长．∵，． ∴线段长度的取值范围是．故选B．6．（2021·全国高一课时练习）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1．又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，BM=FC1所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1．（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且OE＝DC，又D1G∥DC且D1G＝DC，所以OED1G，OE=D1G所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．7．（2020·全国高一课时练习）如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在中，D，E分别为棱，中点.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，，因为E，F分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，所以平面. 8．（2020·全国高一课时练习）已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．【解析】（1）连结并延长与的延长线交于点，因为四边形为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以． 又平面，平面，故平面．（2）当的值为时，能使平面平面．证明：因为，即有，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【题组四线面、面面平行的性质】1．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______． 【答案】【解析】如图，连接，交于点，连接，则，在线段取一点使得，则.连接，则，又因为平面，平面，所以平面.因为平面且满足，故平面平面.因为平面平面，平面平面，则.所以，即为所求.故答案为：.2．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.【答案】证明见解析【解析】∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面，∴3．（2021·六盘山高级中学高一期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.（1）求证：BC//AD；（2）求证：CE//平面PAB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：在四棱锥中，平面PAD，平面ABCD，平面平面，，取PA的中点F，连接EF，BF，是PD的中点，，，又由可得，且，，，四边形BCEF是平行四边形，，平面PAB，平面PAB， 平面PAB.4．（2020·六盘山高级中学高一月考）如图，在五面体中，四边形是矩形，求证：.【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以.因为平面CDEF，平面CDEF，所以平面CDEF.因为平面ABFE，平面平面，所以.5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图：是平行四边形平面外一点，，分别是，上的点，且，求证：平面SBC【答案】证明见解析.【解析】 过点作，交于，连接，可得，又因为，所以，所以，又因为不在平面内，平面，所以平面，又，所以，不在平面内，平面，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面SBC