新教材人教版高中数学必修第二册(精练)6.4.2《正余弦定理》（解析版）

6.4.2正余弦定理（精练）【题组一余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为______．【答案】4【解析】因为，，，所以，故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在中，若，则________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得，，.故答案为：60°3．（2020·高一期中）在中，若，则的大小是_______.【答案】【解析】设，，，由余弦定理可得；．故答案为：．3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】在中，，，所以，故选：A.4．（2020·安徽高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，， ，则（）A．5B．C．29D．【答案】B【解析】由余弦定理得.故选：B5．（2020·吉林长春市）在中，角，，所对的边分别为，，，，则。【答案】【解析】在中,设由余弦定理代入可得6．（2020·衡东县欧阳遇实验中学高一期末）在中，已知，则角为_________.【答案】【解析】在中，，所以，，又因为，所以.故答案为：7．（2020·石林彝族自治县民族中学高一月考）在中，已知，则的值是_________.【答案】【解析】在中，已知，则由余弦定理可得，，由正弦定理，可得.故答案为：.8．（2020·高一期末）在△中， ，那么这个三角形的最大角是【答案】【解析】由正弦定理，，设，显然该三角形的最大角是角，由余弦定理，可得，因为，所以.故选：B.9．（2020·广西南宁市·南宁十中高二期中）已知，，为的三边，，则______.【答案】0【解析】，则，故.故答案为：0.10.（2020·全国高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，则内角A的大小是______.【答案】【解析】∵,由余弦定理,∴代入可得.又,∴,∴故答案为:11．（2020·全国高一课时练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则______.【答案】【解析】,是方程的两个根,由韦达定理可得,.由余弦定理,得所以故答案为:【题组二正弦定理】 1．（2020·四川成都市·）在中，若角，，，则角（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理可得：，则，因为，所以，故或.故选：D．2．（2020·山西运城市·高一月考）在中，，，，则角的值为（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】由正弦定理可得，即，解得，所以或，由得，所以，故选:C.3．（2020·滦南县第一中学高一期末）在中，若，，，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°【答案】B【解析】在中，由正弦定理可知：，因为，所以或因为，所以，因此，故选：B4．（2020·江西赣州市·高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（）A．B．C．4D．【答案】B【解析】，，，由正弦定理，可得． 故选：．5．（2020·高一月考）设的内角所对的边分别为，若，则（）A．B．C．D．【解析】由正弦定理得，∴．又，∴为锐角，∴．故选B．6．（2020·高一期中）中，，，则此三角形的外接圆半径是（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圆半径是故选：C7．（2020·湖南省长沙县第九中学高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则________.【答案】或【解析】因为，，，由正弦定理得：，因为，所以或，所以或，故答案为：或. 8．（2020·上海市进才中学高一期中）在中，若，，，则__________．【答案】【解析】因为在中，，，，由正弦定理可得，所以.故答案为：.9．（2020·灵丘县豪洋中学高一期末）已知的三个内角之比为，，那么最大边长等于__________.【答案】3【解析】因为的三个内角之比为，所以，，为最大边，由正弦定理得，所以.故答案为：3.10.（2020·黑龙江鹤岗市）已知的内角所对的边分别为，且，解三角形.【答案】，.【解析】，，由正弦定理得：，∴.11．（2020·北京丰台区·高一期末）在中，已知，，，求c和的值．【答案】；【解析】因为，，，由余弦定理可得，， ，由正弦定理可得，，．【题组三正余弦定理综合运用】1．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）中，边，，的对角分别是，，，若，则角【答案】或【解析】在中，由正弦定理知则，因为角是的内角，所以，所以角等于或．故选：D．2．（2020·山东滨州市·高一期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.【答案】【解析】，，，，由于为三角形内角，可得．故答案为：．3．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则________.【答案】【解析】，根据正弦定理：，，根据余弦定理：，又，故可联立方程：，解得：.故答案为：.4．（2020·贵州毕节市·高一期末）内角，，的对边分别为，，，若，，则__________．【答案】【解析】内角，，的对边分别为，，，且， 整理得，所以，由正弦定理得，整理得，因为，所以，故答案为：.5．（2020·安徽滁州市）已知中，分别为内角的对边，且acosB+bcosA=3ccosC,则______．【答案】【解析】∴利用余弦定理可得，整理可得：∴由余弦定理可得：故答案为．6．（2020·高一期末）在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则【答案】【解析】解：∵，∴由正弦定理可得：，∴，∴，又∵，∴，∴，可得，，又，∴7．（2020·安徽蚌埠市·高一期末）在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B 【解析】根据题意及正弦定理得，即，所以，结合三角形内角的取值范围得到，所以三角形是等腰三角形故选：.8．（2020·全国高一课时练习）在中，三边上的高依次为，，，则为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能【答案】C【解析】设的内角,,所对的边分别为,,,,,分别为边,,上的高.因为,所以可设,,.由余弦定理,得,则,所以为钝角三角形,故选:C.9．（2020·四川成都市·高一开学考试）设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（）．（1）若，则．（2）若，则．（3）若，则．（4）若，则．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）【答案】B【解析】（1），可以得出，所以，故正确；（2），得出，故错误；（3）假设，则，与矛盾，∴正确；（4）取，满足，，错误．故选：B10．（2020·山西运城市·高一月考）若，且，则是（） A．等边三角形B．等腰三角形C．直角或等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】若，由正弦定理得，即又，，由正弦定理及，得，即，又，所以，即，又，所以是等边三角形故选：.11．（2020·衡水市第十四中学高一月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为()A．a＝8B．a＝9C．a＝10D．a＝11【答案】B【解析】由正弦定理知，由题意知，若，则，只有一解；若，则A＞B，只有一解；从而要使的值解三角形有两解，则必有，且，即，解得，即，因此只有B选项符合条件，故选B.12．（2020·全国高一课时练习）在中,内角所对的边分别是若,,则()A．B．C．D．【答案】B【解析】由及余弦定理的推论得:,即.又,,,即, 解得或(不合题意,舍去).故选:B.13．（多选）（2020·江苏南京市·高一期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（）A．5B．C．D．6【答案】CD【解析】①b＞csinB＝6．三角形有两解②当b＝3时，三角形有一解．③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．④当b＜3时，三角形无解，故选：CD．14．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中，已知，若解此三角形时有两解，则的取值范围为_________．【答案】【解析】由余弦定理有，，即，因为此方程有两解，所以，且，解得．15．（多选）（2020·江苏泰州市·高一期末）中，，，则下列叙述正确的是（）A．的外接圆的直径为4.B．若，则满足条件的有且只有1个C．若满足条件的有且只有1个，则D．若满足条件的有两个，则【答案】ABD【解析】由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数． 易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；当，即，时，满足条件的三角形有两个．故，正确，错误．故选：．16（多选）．（2020·湖北武汉市·高一期末）下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，，则为等腰直角三角形D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【解析】对选项A，在中，由，故A正确.对选项B，若，则，又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.对选项C，，整理得：.因为，所以，即.所以，即， ，即，又，所以.故，则为等腰直角三角形，故C正确.对选项D，，解得.，所以.又因为，，故D错误.故选：ABC【题组四三角形的面积】1．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是，则b=（）A．1+B．C．D．2+【答案】A【解析】由已知，，所以，解得．故选：A．2．（2019·重庆外国语学校龙洲湾校区高一期中）已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以，由，可得， 根据余弦定理，，所以，故选C.3．（2020·霍邱县第二中学高一月考）在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】，，，，得；所以由余弦定理可得，则；因此，由正弦定理可得，的外接圆直径为.故选：C4．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为(  )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵的面积为，，∴，∴．由余弦定理得，∴．由正弦定理得．故选A．5．（2020·安徽宣城市·高一期末（理））在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，且，解得，， 又，所以，故．因为，，故，故．故选:B．6．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）在中，则的值等于（  ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.7．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高一期中）在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可知已知，所以和，所以，，所以是等腰直角三角形，由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，所以.故选：A 8．（2020·）在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得，，所以又，，所以有，即，所以，由正弦定理得，，得所以外接圆的面积为．答案选D．9．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】①∵，∴，又∵∴∴故①成立；②∵∴∴∴；故②成立；③∵∴∴∴；故③成立；④∵表示为边的单位向量，表示为边的单位向量，∴所以（）. 表示，又∵，∴°所以为等边三角形故④成立.故选：D.10．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】，，即，，①的面积为，，，，②，由①②可得，即，，或，当，由，可得，不合题意，故舍去，故故选：．11．（2020·安徽亳州市·）已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由题，三角形的面积：由余弦定理：可得：所以所以的最大值为4.故选：C12．（2020·江西省临川第二中学）若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的直径为____．【答案】【解析】设中，，，且，由余弦定理可知,又，由正弦定理可知外接圆直径为：故答案为：13．（2020·北京高一期末）在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.【答案】【解析】，，，，由余弦定理可得.故答案为：.14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高一期末）在中，已知，，且最大内角为120°，则的面积为________．【答案】【解析】∵，∴，又，∴，∴最大，∴，由得，，由，解得，．故答案为：．15．（2020·河北唐山市·高一月考）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________. 【答案】【解析】因为，所以根据正弦定理得:，化简可得:，即，(A为三角形内角)解得:，又，(b=c时等号成立)故.故答案为：16（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）设内角的对边分别为.若°，的面积为2，则的外接圆的面积为________.【答案】【解析】由题意可得，则，再由余弦定理可得，，则，再由正弦定理可得，，三角形外接圆的半径为：，的外接圆的面积为.故答案为：.17．（2020·北京101中学高一期末）在中，，，面积为，则________．【答案】【解析】，，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为： 18．（2020·）锐角中,分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________．【答案】【解析】，由得，又为锐角三角形，，又，即，解得，.由正弦定理可得，解得，又，，.故答案为.19．（2019·浙江湖州市·高一月考）在中，，，，则的内切圆面积为__________.【答案】【解析】如图，设， 由余弦定理得，，设内切圆的半径为，则，，解得，所以圆的面积为.故答案为：.20．（2020·兴化市板桥高级中学高一期中）在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．【答案】2【解析】△ABC中，由正弦定理得sinB＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.故答案为：；.