新教材人教版高中数学必修第二册(精练)8.6《空间直线、平面的垂直》（1）（精炼）（解析版）

8.6空间直线、平面的垂直（1）（精炼）【题组一线面垂直】1．（2021·海原县第一中学高一期末）如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．【答案】证明见解析.【解析】证明：由AB是⊙O的直径，得.又⊙O所在平面⊙O所在平面内所以，又，所以面PAC，面PAC.所以，又，，所以平面PBC．2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体中，E为的中点，.求证：（1）平面； （2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在正方体中，平面，平面，，，，平面；（2）连接，在正方体中，且，四边形是平行四边形，且，分别为中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面.3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析.【解析】证明：在正方形中，，平面，平面，可得，而，可得平面，而平面，则，在直角三角形和直角三角形中，，，，，，即，即，又，而，则平面．4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在四面体中，棱，其余各棱长都为1，为的中点．求证：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）由已知可得，为的中点．所以，，又， 所以平面．（2）由，其余各棱长都为1，可得，，由为的中点．可得，因为，所以，所以，又，，所以平面．5．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方体．（1）直线与平面是否垂直？为什么？（2）直线与平面是否垂直？为什么？（3）直线与平面是否垂直？为什么？（4）直线与平面是否垂直？为什么？【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）垂直，证明见解析；（3）不垂直，证明见解析；（4）垂直，证明见解析．【解析】（1）垂直，因为，，且，平面，平面所以平面；（2）垂直，因为，，且，平面，平面；所以平面；（3）不垂直， 因为与不垂直，所以与平面不垂直；（4）垂直，因为，，且，平面，平面．所以平面．6．（2020·全国高一课时练习）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于面，是中点.（1）求证：面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）取的中点，连接、，是中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，面. （2）面面，面面，，面，平面，，等边三角形，为的中点，，又，、平面，平面，，平面.【题组二线线垂直】1．（2020·陕西西安市·高一月考）如图1，四棱锥的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.（1）证明：；（2）求棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）由侧视图可知，，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为ABCD是正方形，所以.而，PD，平面PCD，所以平面PCD. 因为平面PCD，所以.又是等腰三角形，M是PC的中点，所以，而，PC，平面PBC，所以平面PBC，而平面PBC，所以.（2）.2．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）平面．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为底面，底面，所以，又，，所以平面，又平面所以；（Ⅱ）因为，是的中点，所以，又，，所以平面，又平面，所以,又因为，且， 所以平面，又平面，所以，又，所以平面．3．（2021·陕西商洛市·高一期末）如图，在三棱柱中，，平面，，为棱的中点.（1）证明：.（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，. 因为平面，所以三棱柱为直三棱柱.因为，为棱的中点，所以.所以.因为，，所以，所以.因为为的中点，所以.又，所以平面.因为平面，所以.（2）解：在三棱锥中，.因为平面，且，所以三棱锥的体积为.设点到平面的距离为，则.因为，所以.所以，即点到平面的距离为.4．（2020·全国高一单元测试）已知直三棱柱中，，，是 中点，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1），为等腰三角形为中点，，为直棱柱，平面平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中点，连结，，，，分别为，，的中点，，，平面平面，平面 平面.【题组三面面垂直】1．（2021·全国高一课时练习）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.（1）证明：平面平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得平面PBD？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】证明：（1）由题意可知，平面平面CDM，又∵平面平面，，平面ABCD，∴平面CDM，又平面CDM，∴，又由圆的性质知，∵，平面AMD，平面AMD，∴平面AMD，∵平面BMC，∴平面平面；（2）存在点P，当点P为线段AM的中点时，平面PBD. 理由如下：连接DB与AC交于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO是三角形AMC的中位线，∴，∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD.2．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接交于点O，连结,因为为矩形，所以O为的中点,又E为的中点，所以,平面，平面，所以平面.（2）因为,所以，所以底面为正方形，所以，因为，所以，且，所以平面， 又平面，所以平面平面.3．（2021·陕西商洛市·高一期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，.（1）证明：平面平面.（2）若，分别是，的中点，证明：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在直角梯形中，，，则.因为，所以.因为，所以平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）取的中点，连接，. 因为，分别为，的中点，所以,又平面，平面，平面，同理平面，因为，所以平面平面，又平面OPQ，所以平面.4．（2020·全国高一单元测试）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）若点是线段的中点，求证：平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，面面，，面， 所以半圆弦所在平面，且半圆弦所在平面，所以；又是上异于，的点，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（2）由是的中点，连接交于点，连接，如图所示：由中位线定理得；又平面，平面，所以平面．5．（2020·西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析【解析】连接，交于点，三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，取的中点，连接，则，四边形是平行四边形，，又，，底面，底面，，又，，平面，平面，平面，平面平面.6．（2021·全国高一）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.【答案】证明见解析【解析】由题设知，平面⊥平面，交线为.因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥.因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥.又=，所以⊥平面.而平面，故平面⊥平面.7．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.（1）求证：平面BDE；（2）求证：平面平面PAC. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．（2）∵在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，D、E分别为PC、AC的中点，∴，，∵，∴平面PAC．∵平面ABC，∴平面BDE⊥平面PAC．【题组四空间距离】1．（2021·全国高一课时练习）正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设点到平面的距离为是,如图，易知,因为所以， 由，所以，解得：故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（）A．4B．C．2D．【答案】C【解析】如图，,又平面，平面.∴MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.∴MN与平面的距离为2.故选：C3．（2020·天津师范大学附属实验中学高二月考）长方体中，，，那么直线和平面的距离是________．【答案】【解析】∵直线平面，∴直线和平面的距离即为点和平面的距离.∵面面，在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d， 由面积法得：.故答案为：.4．（2020·上海高三专题练习）平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．【答案】12【解析】如图，，由题意可知，，，设，，则，解得：，平面与平面间的距离故答案为：125．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________. 【答案】2【解析】如图平面ABCD平面EFGH又平面.平面ABCD与平面EFGH的距离为.故答案为：26．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.【答案】312【解析】在长方体中，面,所以点B到面的距离为 即点B到面的距离为3.面,则直线上任意一点到面的距离相等。由面,所以点到面的距离为所以直线AC与面的距离为1.面与面平行，且与面、面都垂直所以线段为面与面的距离故面与面的距离2.7．（2019·上海大学附属中学）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.【答案】1【解析】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1故答案为：1．8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，∴∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平面，平，∴平面.∵∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平向，平面，∴AE∥平面.又∵，∴平面平面.（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，∵正方体的棱长为2，∴，，∴的面积∴三棱锥的体积，.又三棱锥的体积.由可得， 解得.∴平面与平面之间的距离为.