新教材人教版高中数学必修第二册(精练)6.3.2《平面向量数量积的坐标表示》（解析版）

6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量，，则（）A．15B．16C．17D．18【答案】C【解析】因为向量，，所以，故选：C2．（2020·广东高一期末）若则（）A．-5B．5C．-6D．6【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1B．C．D．-1【答案】B【解析】由题意，，，可得，则，所以，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，∴.故选：D.5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点，，，，则向量在 方向上的投影是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知，，，，，所以，，则向量在方向上的投影是.故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量，，，若，，则（）A．14B．-14C．10D．6【答案】C【解析】向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，则．故选：．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设为与的夹角，，，则，，又，.故选：.8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量，，若，则（）A．B．C．2D．3【答案】A【解析】， 因为，所以，解得：，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设，且在轴上的投影为2，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量在轴上的投影为2，可设，因为，可得，解得，所以.故选：B.10．（2021·江苏高一）已知平面向量，，若，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量，若为钝角，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为钝角，且不共线，，解得且，的范围是，，.故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量，，若，则（）A．或B．或C．或D．或【答案】AC【解析】因为向量，，所以，若，则，即，解得或，故A正确，B错；当时，； 当时，；故C正确，D错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量，，则（）A．B．C．D．与的夹角为【答案】CD【解析】因为，，所以，所以，故A错误；因为，，所以，又，则，所以与不平行，故B错误；又，故C正确；又，又与的夹角范围是，所以与的夹角为，故D正确.故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.【答案】【解析】由已知，， ∵与垂直，∴，∴，∴以．故答案为：．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳）已知向量，与向量（1）当为何值时，；（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．【解析】（1），，所以时，；（2）由题意，，所以；（3）由已知，所以，所以时，取得最小值3，此时．【题组二巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值. 【答案】（1）14；（2）.【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.2．（2020·江西高一期末）如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2）. 【解析】（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：则，，，因为D为BC的中点，故，∴，，∴.（2）由E为线段AD中点可知，∴，，∴.3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为，，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.（1）若，试用向量，表示向量； （2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，则，，，，所以，，.设，则，解得，所以.（2）设，则，，则，，所以，其中，（为锐角）.因为，所以，则，，所以的取值范围为. 【题组三数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·高一月考）已知向量,若,则()A．1B．C．D．【答案】A【解析】由，得，整理得，所以，故选：A.2．（2020·辽宁高一期末）已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，将函数的图象向左平移个单位，得到，该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，，，，，又，.故选：D.3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知是锐角，，，且，则为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°【答案】D【解析】，，，，又，则， 或，解得15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则，即，所以.故选：A5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量，，则的值为（）A．1B．C．2D．4【答案】B【解析】，，，，.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知，，其中.（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得：，则：，因此：，因此，向量与所成的夹角为；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2），且角为锐角，求角的大小；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）角的终边过点，点到原点距离为，∴，，∴；（2）∵，∴，，又为锐角，∴，∴．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）∵，∴，故，∴．（2）∵与的夹角为，∴，故，又，∴，，即．故的值为．9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量，向量，函数.（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【解析】（1）∵，，∴，可得∵，∴因此，的最小正周期. ∵，，∴对称轴方程为，.（2）∵，可得，∴，得的值域为.∵方程在上有解，∴在上有解，即得实数的取值范围为.10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量．（1）当时，求的值：（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），所以，所以；（2），则，所以，故．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量，，. （1）若，，求实数的值；（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，整理得：∵，，解得：（2）∵，，，∴∵，∴，∴，∴，若恒成立，则恒成立，又∵，∴，故实数的取值范围为. 12．（2020·山西朔州市·高一期中（理））已知，，，若其图像关于点对称（1）求的解析式；（2）求在上的单调区间；（3）当时，求的值.【答案】（1）；（2）在上的增区间是，减区间是；（3），.【解析】（1），∴∵的图象关于点对称∴，即，∵∴∴.（2）的单调递增区间为：；单调递减区间为： ；所以在上的增区间是，减区间是；（3）∵∴即，解得，13．（2020·广东高一期末）已知向量.（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．【答案】（1）,（2）【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2），因为，所以，所以，所以.14．（2021·广东湛江）已知向量，，且 （1）求及的值；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1），，（2）【解析】（1）因为向量，，所以，，所以因为，所以，所以，（2）由（1）可得，令，则，令，其图像的对称轴为直线，则问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，①当时，则函数在上递增，最小值为，不合题意，舍去，②时，则函数在上递减，在上递增，则最小值为，解得或（舍去）， ③当时，则函数在上递减，最小值为，解得，不合题意，舍去，综上，【题组四数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论：①若四边形为平行四边形，则，即，即，解得，此时，点的坐标为；②若四边形是平行四边形，则，则，即，解得，此时，点的坐标为；③若四边形为平行四边形，则，即，即，解得，此时，点的坐标为.综上所述，第四个顶点的坐标为或或，所以不可能是，故选：D.2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值．（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件．【答案】（1）；（2）． 【解析】∵即：（2）若点能构成三角形，则不共线∴∴实数应满足的条件是3．（2021·重庆市）已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点，，.（1）若，求实数的值.（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由于，则，解得.（2）由题意得为直角，则. 即，故.5．（2020·山西朔州市·高一期中（文））已知向量=,=,=,为坐标原点.（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为=，=，=，所以，，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数时，满足条件．6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）或；（2）为直角三角形，为直角，证明见解析.【解析】（1）设，则，又，所以，联立，解得或．于是或．（2）是直角三角形，为直角．证明如下：∵，， ∴，∴，即为直角三角形，为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量，，，．（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ），，，，，由，，；（Ⅱ），，为直角，则，，又，，再由，解得：或．