新教材人教版高中数学必修第二册(精练)第七章《知识总结及测试》（解析版）

第七章知识总结及测试思维导图 单元测试一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2020·全国高一课时练习）已知复数z对应的向量为（O为坐标原点）， 与实轴正方向的夹角为，且复数z的模为2，则复数z为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为，根据题意可画图形如图所示，，且与x轴正方向的夹角为，，，即点Z的坐标为或.或.故选：D2．（2020·全国高一课时练习）已知i是虚数单位，复数的虚部是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由复数的概念知，复数的虚部是，故选：C.3．（2020·全国高一课时练习）.已知，对应的复数为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.4．（2020·全国高一课时练习）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D. 5．（2020·全国高一课时练习）设是虚数单位，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设,可得：，则，，可得：，可得：，故选：B.6．（2020·全国专题））若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】由题意可得：，则.故.故选：D.7．（2020·全国高一课时练习）复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由题意得，∴，又复数的共轭复数的虚部为， ∴，解得.∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.8．（2020·全国高一课时练习）计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（）A．1B．iC．﹣iD．1+i【答案】D【解析】由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89，而i90＝i88•i2＝i2＝﹣1，故1+i+i2+i3+…+i891+i，故选：D.二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共4题20分）9．（2020·全国高一课时练习）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（）A．B．的实部是C．的虚部是D．复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABD【解析】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项正确.故选：.10．（2020·全国高三专题练习）设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）A．若为纯虚数，则实数a的值为2 B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为的共轭复数）的充要条件D．若，则实数a的值为2【答案】ACD【解析】∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确选项D：时，有，即，故正确故选：ACD11．（2020·山东枣庄市·新校高二开学考试）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A．若复数，则B．若复数满足，则C．若复数满足，则D．若复数，满足，则【答案】AC【解析】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确； D选项，设复数，，则，因为，所以，若，能满足，但，故D错误.故选：AC.12．（2020·全国高一课时练习）下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数是实数的充要条件是B．复数是纯虚数的充要条件是C．若，互为共轭复数，则是实数D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称【答案】AC【解析】对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；故选：AC三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2020·全国高一课时练习）已知复数，那么_____________.【答案】【解析】，，故.故答案为：. 14．（2020·上海浦东新区）已知、，为虚数单位，且，则____________．【答案】2【解析】故答案为：215．（2020·全国高一课时练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数为_____________.【答案】i【解析】由，得，则.故答案为：i.16．（2020·全国高一课时练习）如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.【答案】【解析】.所求复数为.故答案为：.四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·全国高一课时练习）已知复数（i为虚数单位），试求实数m分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由，得，当时，z是实数；（2）由，得且，当时，z是虚数；（3）由题意得，.即，解得.当时，z是纯虚数.18．（2020·全国高一课时练习）实数取什么值时,复数(1)与复数相等(2)与复数互为共轭复数(3)对应的点在轴上方.【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m5.19．（2020·全国高一课时练习）已知i是虚数单位，O为坐标原点，向量对应的复数为，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为，分别写出：（1）向量对应的复数；（2）点对应的复数；（3）向量对应的复数.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】如图所示，O为原点，点A的坐标为 ，向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为，坐标平移不改变的方向和模，（1）向量对应的复数为；（2）点对应的复数为；（3）向量对应的复数为.20．（2020·全国高一课时练习）已知复数（i为虚数单位）.（1）求及；（2）当复数z满足时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.【解析】复数.（1），.（2）设复数，，，它表示复数z对应的点到的距离为1，构成的图形是圆心为，半径为1的圆，画出图形，如图所示，所对应的点为，则圆心P到点A的距离为.因为表示圆P上的点到点A的距离，所以的最大值为，最小值为. 21．（2020·全国高一课时练习）已知复数，（），且.（1）若且，求的值；（2）设；①求的最小正周期和单调递减区间；②已知当时，，试求的值.【答案】（1），；（2）①周期，单调减区间，；②【解析】由于，所以，故.（1）当时，，则，由于所以，所以或，所以或.（2）由于，故.①函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的单调递减区间为，.②依题意，所以.所以.22．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．（1）求，及，；（2）设，求．【答案】（1），；，；（2）. 【解析】（1）因为所以所对应的复数所以，因为所以所对应的复数所以，（2）由题因为，所以，，所以