第九章知识总结及测试思维导图
单元测试
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2021·浙江高一单元测试）3个数1，3，5的方差是（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题得3个数的平均数为3，所以．故选：D2．（2020·全国高一课时练习）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）A．24B．36C．46D．47【答案】A【解析】由随机数表．抽样编号依次为43，36，47，36前面出现过去掉，46，24，第5个是24．故选：A．3．（2020·黑龙江高二期中（文））为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（ ）A．3000B．6000C．7000D．8000【答案】C【解析】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，
因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.故选：C.4．（2021·浙江高一单元测试）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降【答案】C【解析】因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的经济收入为，则建设后的经济收入为，A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加，故A正确；B选项，新农村建设后，其他收入比建设前增加，即增加了一倍以上，故B正确；C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；D选项，新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的降为，故D正确；故选：C.5．（2021·全国高一课时练习）如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（）
A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图可知：众数；中位数应落在70-80区间内，则有：，解得：；平均数=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以故选：B6．（2021·全国高一课时练习）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地总体均值为，中位数为B．乙地总体均值为，总体方差大于C．丙地中位数为，众数为D．丁地总体均值为，总体方差为【答案】D【解析】对于A选项，反例：、、、、、、、、、，满足中位数为，均值为，与题意矛盾，A选项不合乎题意；对于B选项，反例：、、、、、、、、、，满足均值为，方差大于，与题意矛盾，B选项不合乎题意；
对于C选项，反例：、、、、、、、、、，满足中位数为，众数为，与题意矛盾，C选项不合乎要求；对于D选项，将个数由小到大依次记为、、、、、、、、、，假设，若均值为，则方差为，矛盾，故，假设不成立，故丙地没有发生规模群体感染，D选项合乎要求.故选：D.7．（2020·全国高一课时练习）在一次数学测试中，高二某班名学生成绩的平均分为，方差为，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】方差，若存在，则导致方差必然大于，不符合题意.不可能是该班数学成绩故选：D.8．（2021·全国高一课时练习）某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高1173616911168217971771217531758175131724173917414169
51701018215176那么这组数据的第80百分位数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这15个数据按照从小到大排列，可得168,169,169，170,172,173,173,174,175，175,175,176,177,179,182，，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即.故选：C二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）9．（2020·全国）某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：）变化情况：对比数据，关于这名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间内的人数较健身前增加了人B．他们健身后，体重原在区间内的人员一定无变化C．他们健身后，人的平均体重大约减少了D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少【答案】AD【解析】体重在区间内的肥胖者由健身前的人增加到健身后的人，增加了人，故A正确；他们健身后，体重在区间内的百分比没有变，但人员组成可能改变，故B错误；
他们健身后，人的平均体重大约减少了，故C错误；因为图（）中没有体重在区间内的人员，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，故D正确.故选：AD.10．（2021·全国高一课时练习）下列命题中是真命题的有（）A．有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为【答案】BD【解析】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A不正确；对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为，众数和中位数都是，故选项B正确；对于选项C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；对于选项D：样本数据落在区间有120，122，116，120有个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项D，故选：BD11．（2021·全国高一课时练习）下列命题是真命题的有（）A．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
【答案】BCD【解析】对于A项，乙、丙抽取的个体数分别为，则样本容量为，故A错误；对于B项，平均数为，中位数为，众数为，故B正确；对于C项，乙的平均数为，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D项，将该组数据总小到大排列，由，则该组数据的85%分位数为5，故D正确；故选：BCD12．（2021·全国高一课时练习）统计某校名学生的某次数学同步练习成绩(满分分)，根据成绩依次分为六组，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．B．C．分以下的人数为D．成绩在区间的人数有人【答案】ACD【解析】对选项A，B，由图可知，，解得，故A说法正确，B错误；对选项C，因为100分以下的频率为，所以100分以下的人数为，故C说法正确；
对选项D，成绩在区间内的频率为，所以成绩在区间的人数有人，故D说法正确.故选：ACD三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2021·全国高一课时练习）A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只.【答案】【解析】设每天生产平均值为依题意得所以又因为，所以解得故答案为：14．（2021·全国高一课时练习）已知一组数据的平均数为（其中），则中位数为_____________．【答案】【解析】解：因为数据的平均数为，所以，解得，所以则组数据分别是，按从小到大排列分别为，故中位数为故答案为：15．（2021·浙江高一单元测试）为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是，则_____.【答案】
【解析】由频率分布直方图知，从左到右第一小组的频率为，且从左到右第一小组的频数是，所以.故答案为：16．（2021·浙江高一单元测试）某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取__________________.【答案】210【解析】由题意知A区在样本中的比例为∴A区应抽取的人数是.故答案为：210．四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2020·全国高一课时练习）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.【答案】（1），；4.07（2）35.2万；（3）【解析】（1）由频率分布直方图可得，又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.18．（2020·全国高一课时练习）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【答案】（1）分；（2）.【解析】（1）得分的频率为；得分的频率为；
得分的频率为；所以得分的频率为设班级得分的中位数为分，于是，解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分.（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为又班级总数为于是“良”、“中”的班级个数分别为.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为则为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为2个评定为“中”的班级标记为从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中.这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种.事件仅有一个基本事件.所以所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为.19．（2020·全国高一课时练习）近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？
（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．【答案】（1）甲更稳定（2）甲15天，乙12天【解析】（1）(万元)，，(万元)因为，所以甲电商对这种产品的销售更稳定.（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为天，乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为天.20．（2020·全国高一课时练习）年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族”人数占本组的频率
第一组第二组第三组第四组第五组（1）求、、的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意得：；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值为：；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，从中选：人，分别记为、、、、，
从中选：人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，因此，选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.21．（2020·全国高一课时练习）A､B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下：B同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m，n表示).（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A､B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)；（2）若B同学的平均分为78，方差s2=19，求m，n.【答案】（1）茎叶图答案见解析，选派B同学参加数学竞赛更好，理由见解析；（2）m=8，n=0.【解析】（1）A，B两同学参加了8次测验，成绩(单位：分)茎叶图如下：由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，所以选派B同学参加数学竞赛更好；
（2）因为，所以①，因为，所以②，联立①②解得，.22．（2021·浙江高一单元测试）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.使用微信时间(单位：小时)频数频率[0，0.5)30.05[0.5，1)xp[1，1.5)90.15[1.5，2)150.25[2，2.5)180.30[2.5，3]yq合计601.00
确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图．【答案】，补全的频率分布直方图如图所示【解析】因为“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2，所以，又因为，所以解得，所以，补全的频率分布直方图如图所示
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