6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）【题组一平面向量在几何中的运用】1．（2020·全国高一课时练习）若,且,则四边形是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四边形是等腰梯形，选：C．2．（2019·怀仁市）已知正方形ABCD的边长为1，则等于A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，因为正方形的边长为，则，因为，所以，故选C．3．（2020·宁夏高一期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－B．0C．4D．－1【答案】A【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选：A.4．（2020·浙江高一期末）已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．【答案】6【解析】如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，则，设，，，整理可得，则，
，则当时，取得最大值为6.故答案为：6.5．（2020·全国高一课时练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】5【解析】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：56．（2020·河南商丘市·高一期末）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．【答案】7【解析】由余弦定理得，，所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
，，，，当时，的最大值，最大值是7.故答案为：7.7．（2020·山东潍坊市·高一期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.【答案】【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.
8．（2020·江苏盐城市·高一期末）如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点，且，则的最大值为________.【答案】【解析】以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，所以，，，，，圆M的方程为，设，又，所以，解得，又点P是圆M上的点，所以（为参数），所以，其中，所以，当时，取得最大值，故答案为：.
9．（2020·天津静海区·静海一中高一期中）如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____【答案】【解析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，，设，，故可得，则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.故答案为：.10．（2020·全国高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
【答案】证明见解析【解析】【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.11．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：（1）BE⊥CF;（2）AP=AB.【答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析【解析】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,∴||=||,即AP=AB.12．（2020·山西运城市·高一期中）在四边形中，已知，，，.（1）判断四边形的形状；（2）若，求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）四边形是等腰梯形.（2）【解析】（1）由题,因为,,所以,又因为,,所以四边形是等腰梯形（2）设,所以,,
因为,所以,解得,所以,,设向量与夹角为,则,故向量与夹角的余弦值为13．（2019·全国高一课时练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.【答案】证明见解析【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系.设，则，.设，则.又因为，，所以，所以，解得，所以.所以.又因为，所以，.又因为，所以.
14．（2020·全国高一课时练习）在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．【答案】见解析【解析】如图所示，设=，=，则与的夹角为90°，故=0.∵=-，(+)，∴||=|+|==，||=|-|==.∴=，即CD=AB.【题组二平面向量在物理中的运用】1．（2020·山东潍坊市·高一期中）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．
【答案】【解析】如图，由向量分解的平行四边形法则，计算可得：故答案为：2．（2020·全国高一课时练习）如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.【答案】5N【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，，∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5N.
故答案为：，5N3．（2019·四川省乐至至宝林中学高一期末）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.【答案】【解析】如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角分别为，则由三角函数定义得，，由于系统处于平衡状态，∴
∴，【方法一】移项，（1）、（2）平方相加得：，即，而存在正数使得系统平衡，∴△＝，∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，不扣分．这时均为0）由（*）解得，由（2）式知∴，这是关于的增函数，∴正数的取值范围为.【方法二】（1）、（2）平方相加得：，由（1）知，，而∴随单调递增，∴（这里的锐角满足，此时）且（写成不扣分，这时均为0）∴从而，∴，即，∴,∴正数的取值范围为.4．（2019·全国高一课时练习）设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，且与的夹角为，.（2），即.，.5．（2020·全国高一课时练习）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.【答案】50，【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.又由已知可得，且，所以，从而可知50，.6．（2020·全国高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．【答案】【解析】如图，∵，∴，∴，即，∴．∵，∴．
7．（2020·全国高一课时练习）一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？【答案】（1）此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.【解析】（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.在中，，所以，
实际前进的速度，故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.在中，，所以，故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.8．（2020·全国高一课时练习）已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.（1）求力、分别对质点所做的功；（2）求力、的合力对质点所做的功.【答案】（1）力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；（2）.【解析】（1），力对质点所做的功，力对质点所做的功，所以，力、对质点所做的功分别为和.（2）.
微信/支付宝扫码支付