新教材人教版高中数学必修第二册单元测试:第06章《平面向量及其应用》(A卷基础篇)解析版
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资料简介
第六章平面向量及其应用A(基础卷)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2019秋•公安县期末)如果向量(0,1),(﹣2,1),那么|2|=(  )A.6B.5C.4D.3【解答】解:由向量(0,1),(﹣2,1),所以2(﹣4,3),由向量的模的运算有|2|5,故选:B.2.(2020•葫芦岛模拟)在矩形ABCD中,AB=1,AD,点M在对角线AC上,点N在边CD上,且,,则(  )A.B.4C.D.【解答】解:,∴()•(). 故选:C.3.(2020•黄山二模)如图,在等腰直角△ABC中,斜边6,且2,点P是线段AD上任一点,则的取值范围是(  )A.[0,4]B.[]C.[0,]D.[]【解答】解:AB=AC=3,,(),设λ,则(1),∴()•[(1)](1)10λ2﹣6λ,∵0≤λ≤1,∴当λ时,取得最小值,当λ=1时,取得最大值4.故选:B.4.(2020•茂名二模)设,是两个不共线的平面向量,已知,,若,则k=(  )A.2B.﹣2C.6D.﹣6 【解答】解:∵,,,∴,解得k=﹣6.故选:D.5.(2020春•扬州期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a,则等于(  )A.B.C.D.2【解答】解:A=60°,a,由正弦定理可得,2,∴b=2sinB,c=2sinC,则2.故选:D.6.(2020春•房山区期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a=2,A=45°,B=30°,那么b=(  )A.B.C.D.【解答】解:由正弦定理可得,,所以b,故选:A.7.(2020•罗湖区校级模拟)海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式,表达式为:S,p;它的特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”,虽然它与海伦公式形式上有所不同,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式.现在有周长为10+2的△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(  )A.B.C.D.12【解答】解:∵sinA:sinB:sinC=2:3:,∴a:b:c=2:3:,∵△ABC周长为10+2,即a+b+c=10+2, ∴a=4,b=6,c=2,∴p5,∴△ABC的面积S6.故选:C.8.(2020•山西模拟)已知向量,,,则当取最小值时,实数t=(  )A.B.C.D.【解答】解:设P(x,y);因为向量,,,可得(x,y﹣2)=t(1,﹣2);故;∴;当t时取最小值.故选:C.二.多选题(共4小题)9.(2020春•江阴市期中)在△ABC中,,AC=1,,则角A的可能取值为(  )A.B.C.D.【解答】解:由正弦定理可得,即,所以sinC,所以C或,当C时,A, 当C时,A.故选:AD.10.(2020•青岛模拟)已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足2,,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是(  )A.∥B.C.D.S=4【解答】解:已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足2,所以A,P,C三点共线.点P为线段AC的三等分点,由于,所以A,B,Q三点共线,且B为线段AQ的中点,如图所示:所以①不平行,故选项A错误.②根据三角形法则:.③④△ABC的面积为3,所以,则S△ABP=2,S△BCP=1,且S△ABP=S△BPQ=2,所以S△APQ=2+2=4.故选:BD.11.(2020春•正定县校级月考)以下关于正弦定理或其变形正确的有(  ) A.在△ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=bC.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立D.在△ABC中,【解答】解:对于A,由正弦定理,可得:a:b:c=2RsinA:2RsinB:2RsinC=sinA:sinB:sinC,故正确;对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B,或A+B,∴a=b,或a2+b2=c2,故B错误;对于C,在△ABC中,由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B,因此A>B是sinA>sinB的充要条件,正确;对于D,由正弦定理,可得右边2R=左边,故正确.故选:ACD.12.(2020•泰安模拟)已知向量(2,1),(1,﹣1),(m﹣2,﹣n),其中m,n均为正数,且()∥,下列说法正确的是(  )A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影为C.2m+n=4D.mn的最大值为2【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,向量(2,1),(1,﹣1),则•2﹣1=1>0,则、的夹角为锐角,A错误;对于B,向量(2,1),(1,﹣1),则向量a在b方向上的投影为,B错误;对于C,向量(2,1),(1,﹣1),则(1,2),若()∥,则(﹣n)=2(m﹣2),变形可得2m+n=4,C正确; 对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,则有mn(2m•n)()2=2,即mn的最大值为2,D正确;故选:CD.三.填空题(共4小题)13.(2020•新课标Ⅰ)设向量(1,﹣1),(m+1,2m﹣4),若⊥,则m= 5 .【解答】解:向量(1,﹣1),(m+1,2m﹣4),若⊥,则•m+1﹣(2m﹣4)=﹣m+5=0,则m=5,故答案为:514.(2020•新课标Ⅰ)设,为单位向量,且||=1,则||=  .【解答】解:,为单位向量,且||=1,||2=1,可得,1+21=1,所以,则||.故答案为:.15.(2020•葫芦岛模拟)若tanα,向量(1,﹣1),(cos2α,sin2α),则•  .【解答】解:向量(1,﹣1),(cos2α,sin2α),tanα,则•.故答案为:.16.(2020春•房山区期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a=3,b,c =2,那么cosA=  .【解答】解:由余弦定理可得,cosA.故答案为:四.解答题(共5小题)17.(2020春•胶州市期中)已知,α∈R.(1)若向量,求的值;(2)若向量,证明:.【解答】解:(1)因为,所以tanα,所以.(2)证明:因为,所以6(sin2α﹣cos2α)+5(1+cos2α)=0,所以.18.(2019秋•滨海县期末)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,,.(1)求CD的长;(2)求的值.【解答】解:(1)∵, ∴,∴,∴,即CD的长为;(2),∴.19.(2020•重庆模拟)已知函数.(1)求函数f(x)的单调性;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,c=1,求△ABC的面积.【解答】解:(1),由,得,k∈Z;由,得,k∈Z.故f(x)在上单调递增,在上单调递减,k∈Z.(2),则,∵A∈(0,π),∴,即,由正弦定理得,即,解得,∴或,当C时,A+C>π,舍去,所以,故,∴. 20.(2019秋•安徽期末)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设平面向量,且(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若,求△ABC中AB边上的高h.【解答】解:(Ⅰ)平面向量,且,可得,所以cos2B﹣sin2A+sinAsinB=cos2C,即1﹣sin2B﹣sin2A+sinAsinB=1﹣sin2C,即sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB,根据正弦定理得a2+b2﹣c2=ab,所以,所以;(Ⅱ)由余弦定理,又,所以ab=3,根据△ABC△的面积,即,解得,所以△ABC中AB边上的高.21.(2020•山东模拟)在①a,②(2a﹣b)sinA+(2b﹣a)sinB=2csinC这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,c而且_______.(1)求∠C;(2)求△ABC周长的最大值.【解答】解:(1)选①,∵a,∴,∵sinA≠0,∴,即,又0<C<π,∴,故,即; 选②,∵(2a﹣b)sinA+(2b﹣a)sinB=2csinC,∴(2a﹣b)a+(2b﹣a)b=2c2,即a2+b2﹣c2=ab,∴,∵0<C<π,∴;(2)由(1)可知,,在△ABC中,由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC=3,即a2+b2﹣ab=3,∴,∴,当且仅当那个a=b时取等号,∴,即△ABC周长的最大值为.

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