格致课堂【新教材】6.4.3余弦定理、正弦定理教学设计（人教A版）第3课时余弦定理、正弦定理应用举例三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解． 重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。
格致课堂一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
格致课堂方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38m.【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，＝.∴BD＝＝≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
格致课堂跟踪训练一1、乙两楼相距200m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200m，乙楼高为m.【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．在△ABC中，BC＝200×tan60°＝200，AC＝200÷sin30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，∴△ACD为等腰三角形．由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×＝3AD2，AD2＝，AD＝.故甲楼高为200m，乙楼高为m.题型二测量角度问题例2 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？【答案】 救援船到达D点需要的时间为1h.【解析】由题意，知AB＝5(3＋)nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
格致课堂在△DAB中，由正弦定理得＝，即BD＝＝＝＝10nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝＝＝30nmile，则救援船到达D点需要的时间为＝1h.解题技巧：(测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解． 跟踪训练二1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
格致课堂在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三测量距离问题例3如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．【答案】A，B两点间的距离为200m.【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200(m)．即A，B两点间的距离为200m.例4如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.【答案】20.【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，＝，
格致课堂∴AB＝＝＝20(m)．即A，B两点间的距离为20m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为km.
格致课堂【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝.∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为km.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
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