新教材人教版高中数学必修第二册教案：6.2.4《向量的数量积（第2课时）向量的向量积》

格致课堂【新教材】6.2.4向量的数量积教学设计（人教A版）第二课时向量的向量积本节主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.本节课主要从平面向量夹角及模长两方面继续研究平面向量.课程目标1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.数学学科素养1.数学抽象：利用数量积定义得到夹角、模长公式；2.逻辑推理：由已知条件求夹角；3.数学运算：求模长,根据向量垂直求参数；4.数学建模：应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时，综合考虑，层层分析.重点：平面向量数量积的性质与运算律应的应用;难点：对向量数量积概念的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入上一节课主要就定义对数量积进行的研讨，本节课主要是对其性质的应用，那么有哪些应用？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 格致课堂二、预习课本，引入新课阅读课本17-21页，思考并完成以下问题数量积运算中常用到哪些公式？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．常用公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.四、典例分析、举一反三题型一向量模的有关计算例1 已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.【答案】(1)－6.(2)13.(3).(4).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos120°＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)|a＋b|＝＝.(4)|a－b|＝＝＝＝.解题技巧（求向量模的常见方法和思路）(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．跟踪训练一 格致课堂1、已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.2、已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________. 【答案】1、.2、3.．【解析】1、令e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，从而|b|＝＝.2、∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.题型二两个向量的夹角和垂直例2 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(  )A.   B.   C.   D.(2)已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．【答案】 (1)A.(2)见解析.【解析】 (1) 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝.又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)证明 ∵|a＋tb|＝＝＝， 格致课堂∴当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．解题技巧：(求向量夹角的思路)(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.跟踪训练二1、已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．【答案】1、.2、当m＝时，c与d垂直.【解析】1、设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝.因为0≤θ≤π，所以θ＝.2、由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1.若c⊥d，则c·d＝0.∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，∴m＝.故当m＝时，c与d垂直．题型三平面向量数量积的综合应用例3已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．【答案】见解析.【解析】由已知条件得，即②－①得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|， 格致课堂所以cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.解题技巧（平面向量解决问题归纳）应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题．跟踪训练三1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．【答案】3．【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3，即向量b的模为3.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本22页习题6.2剩余题.学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强. 格致课堂