数学人教版必修二8.6空间直线、平面的垂直
新知导入竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？答：垂直
二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。记法棱为l,两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β。画法如图新知讲解αβl
思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？答：无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.
二面角的平面角的特点：（1)角的顶点在二面角的棱上（2)角的两边分别在二面角的两个面内（3)角的两边都与棱垂直
例一:已知，如图所示锐二面角α-l-β，A为面α内一点，A到β的距离为2，到l的距离为4.求二面角α-l-β的大小.
利用平面角求二面角大小的步骤：（1)作二面角的平面角（2)证明该角为平面角（3)归纳到三角形求值简记：一作、二找、三求解
例二：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内∴PA⊥BC∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC内，∴BC⊥平面PAC又PC在平面PAC内，∴PC⊥BC又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°
面面垂直定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β
探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细绳紧贴墙面，工人师傅被认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？这个方法说明，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。符号语言：lα，l⊥β，则α⊥β。
例三：如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.解：取BD中点M,连接AM,CM则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，AM=CM=,在△AMC中，AC=a,AM²+CM²=AC²，∴∠AMC=90°即二面角为直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD
总结：用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．
练习一：如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD垂直平面ACC'A'证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体∴AA'⊥平面ABCD∴AA'⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面ACC'A'∴平面A'BD⊥平面ACC'A'
例四：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC证明：∵PA⊥平面ABCBC在平面ABC内∴PA⊥BC∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径∴∠BCA=90°即BC⊥AC又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中∴BC在平面PBC内∴平面PAC⊥平面PBC
练习二：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，∴平面AB1C⊥A1BC1
探究：如图，设α⊥β，α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么关系？相应的b与α有什么位置关系？证明：显然b与a平行或相交，当b//a时，b//α;当b与a相交时，b与α也相交。而当b垂直a时，b也垂直α。
定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。符号语言：α⊥β，α∩β=a,bα，则b⊥β
练习三：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。
（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD
规律方法证明两两垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直.(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
练习四：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC证明：如图过点A作AD⊥PB于点D,∵平面PAB垂直平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PBAD在平面PAB内∴AD⊥平面PBC又∵BC在平面PBC内∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内∴BC⊥PA又∵AD∩PA=A∴BC⊥平面PAB,又∵AB在平面PAB内∴BC⊥AB，
探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。
文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面_垂直_______符号语言a⊥l(a⊂α)⇒_a⊥β_______图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线
例五：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。解：在α内作垂直于α与β的直线b∵α⊥β，∴b⊥β又a⊥β∴a//b又a不在α内∴a//α即直线a与平面α平行
例六：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC∴AE⊥平面PBC∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内∴PA⊥BC又PA∩AE=A∴BC⊥平面PAB
例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明（1）连接BD，如图，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°∴△ABD为正三角形又∵G是AD的中点∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD内，∴BG⊥平面PAD
（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB总结：应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
一、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB课堂小验证明：如图，连接BD,由四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，知△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB//CD所以BE⊥AB又因为PA⊥平面ABCD，BE在平面ABCD内，所以PA垂直BE又PA∩AB=A，因此BE垂直平面PAB又BE在平面PBE内，所以平面PBE⊥平面PAB
二、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD证明：AB⊥平面VAD证明：由于面VAD是正三角形设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD则VE⊥AB，又面ABCD是正方形，则AB⊥AD故AB面VAD。
YOURSITEHERE1，二面角2，面面垂直判定3，面面垂直性质课堂总结
板书设计目标1、二面角2、面面垂直判定3、面面垂直性质精讲习题1、二面角2、面面垂直判定3、面面垂直性质
作业布置同步训练
微信/支付宝扫码支付