数学人教版必修二8.5空间直线、平面的平行
新知导入我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三条直线平行时,这两条直线互相平行,在空间中是否还有这样的类似的结论?AD’C’B’A’DCB
如图,在长方体ABCD-A’B’C’D’中,DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗?观察你所在教室,你能找到类似的实例吗?新知讲解可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。
经过前面的讨论我们得到一个基本事实基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行(用来判断空间中两条直线是否平行)
例一如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。证明:连接BD∵EH是△ABD的中位线∴EH//BD,且EH=1/2BD同理FG//BD,且FG=1/2BD∴EH//FG且EH=FG∴四边形EFGH为平行四边形
在例一中,如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD分析:在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形
练习一如图,在三棱柱中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______解:平行由平行线分线段成比例定理的性质得EF//BC,从而可判断结论。在△ABC中∵AE:EB=AF:FC∴EF//BC又BC//,所以EF//
练习二如图,E,F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF为平行四边形.证明:如图,设Q是DD1的中点,连EQ、QC1.∵E是AA1的中点∴EQ//A1D1EQ=A1D1又在矩形A1B1C1D1中,B1C1//A1D1,B1C1//A1D1,∴EQ//B1C1,EQ=B1C1(平行公理)∴四边形EQB1C1为平行四边形∴B1E//C1Q,B1E=C1Q又∵Q、F是矩形DD1CC1的两边的中点,∴QD//C1F,QD=C1F,∴四边形DQC1F是平行四边形
∴DF//C1Q,DF=C1Q∵B1E//C1Q,B1E=C1Q∴B1E//DF,B1E=DF,∴四边形B1EDF是平行四边形总结:证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.(2)利用基本事实:即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
思考:在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,在空间中,这一结论是否仍然成立?与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图所示的两种位置。对于图一,我们可以构造两个全等三角形进行证明。
如图,分别在∠BAC和∠B’A’C’的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C’
对于第二种情况我们可以参照第一种,如图,延长C’A’分别在∠BAC和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C”所以∠BAC与∠B’A’C’互补,这样我们得到如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补(等角定理)C’
练习三:在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM.证明::因为P、N分别为AB,AC的中点,所以PN//BC,PN=BC又因为M、N分别为A1C1、AC中点,所以A1M//NC,A1M=NC所以四边形A1NCM为平行四边形,于是A1N//MC,A1N=MC,且∠BCM与∠PNA1对应边方向相同,所以∠PNA1=∠BCM.
一、下列命题中,其中正确的是()A.若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行B.若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行C.若两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行D.若两条直线都和第三条直线异面,那么这两条直线互相平行课堂小验C
二、如图,设E,F,G,H依次是空间四边形,ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点,且AE/AB=AH/AD=λ,CF/CB=CG/CD=μ,则下列结论不正确的是()A当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形B当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形C当λ=μ=1/2时,四边形EFGH是平行四边形D当λ=μ≠1/2时,四边形EFGH是梯形D
解:如图,连接BD∵AE/AB=AH/AD=λ,∴EH//BD,且EH=λBD同理,FG//BD,且FG=μBD∴EH//FG∴当λ=μ时,EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形∴A,C正确,D错当λ≠μ,EH≠FG,四边形EFGH是梯形∴B正确
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