新教材人教版高中数学必修第二册课时同步检测6.1.3《相等向量与共线向量》（解析版）

第六章平面向量及其应用6.1.3相等向量与共线向量一、基础巩固1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若，则；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若都是单位向量，则；③向量与相等．则所有正确命题的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②【答案】A【详解】根据零向量的定义可知①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向与互为相反向量，故③错误．3．将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为将向量进行平移变换不改变向量的长度和方向，所以平移以后的向量与原向量相等，所以向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为.4．下列关于向量的结论：（1）若，则或；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则．其中正确的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）【答案】D【详解】（1）若，由于的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正确.（2）由零向量与任何向量平行，当向量与平行时，不能得出与的方向相同或相反，故（2）不正确.（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.5．以下说法正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．零向量没有方向C．共线向量又叫平行向量 D．若和都是单位向量，则【答案】C【详解】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，零向量是没有方向的向量，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；6．下列命题正确的是（）A．若与共线，与共线，则与共线B．三个向量共面，即它们所在的直线共面C．若，则存在唯一的实数，使D．零向量是模为，方向任意的向量【答案】D【详解】A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可的与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量；即D正确.7．下列说法错误的是（）A．向量的长度与向量的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【答案】D【详解】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确； D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，8．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若且，则；④若，则．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若，则可能为零向量，方向任意，所以②错误.③，若且，则可能为零向量，此时不一定平行，所以③错误.④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.故正确的命题有个.9．（多选）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A．共线B．相等C．模相等，方向相反D．模相等【答案】ACD【详解】∵四边形ABCD是矩形，,所以共线，模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同，故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，故C正确. 10．（多选）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；11．（多选）下列说法中正确的是（）A．模相等的两个向量是相等向量B．若，，分别表示，的面积，则C．两个非零向量,，若，则与共线且反向D．若，则存在唯一实数使得【答案】BC【详解】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；设AC的中点为M，BC的中点为D，因为.所以，即，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的 ，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知B选项正确；C选项中，当与共线且反向时，可知成立，当与不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；D选项错误，例如，12．（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是()A．且B．存在相异实数，使C．（其中实数满足）D．已知梯形．其中【答案】AB【详解】对于A，向量是两个非零向量，且，，此时能使共线，故A正确；对于B，存在相异实数，使，要使非零向量是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；对于C，（其中实数满足）如果则不能使共线，故C不正确；对于D，已知梯形中，，，如果是梯形的上下底，则正确，否则错误；一、拓展提升13．如图所示，O为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在图中所标出的向量中， （1）分别写出与，相等的向量；（2）写出与共线的向量；（3）写出与模相等的向量.【答案】（1），；（2）与共线的向量有，，；（3）与模相等的向量有，，，，，，.（3）根据模相等向量的定义求解即可.【详解】解：（1），.（2）与共线的向量有，，.（3）与模相等的向量有，，，，，，..14．将向量用具有同一起点O的有向线段表示.（1）当与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系.【答案】（1）M与N重合（2）答案不唯一，具体见解析【详解】解：（1）M与N重合.（2）①当与同向时，如图（1），，与方向相反；②当与反向时，如图（2），，与方向相同. 15．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABCA1B1C1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量的相反向量；(3)若E是BB1的中点，举出与向量平行的向量．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.(2)向量的相反向量为，.(3)取AA1的中点F，连接B1F，则，，都是与平行的向量．