新教材人教版高中数学必修第二册课时同步检测6.3.1《平面向量基本定理》（解析版）

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理一、基础巩固1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．2．在中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【详解】，3．如图所示，，分别是的边，上的点，且，，则向量（）． A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，，所以.4．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成,∴是平面内表示所有向量的一个基底,.∴不共线,∴.故m的取值范围是.5．中所在的平面上的点满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：因为，所以，所以， 6．设，是不共线的两个向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，是不共线的两个向量,所以由平面向量基本定理知：若，则，7．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则()A．B．C．D．【答案】C【详解】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以．8．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（）A．B．C．D． 【答案】B【详解】解：由题意可得，，故，∴.9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】ACD【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．10．（多选）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【详解】M为△ABC的重心，M是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A，由于△ABC为任意三角形，故中线不一定相等，则不一定相等，故A错误；对于B，D为BC的中点，，，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误. 11．（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.12．（多选）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【答案】AD【详解】由条件可，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.一、拓展提升 13．如图，设，，又，试用，表示．【答案】.【详解】解：，由已知可得：，所以，故．14．如图，在任意四边形ABCD中，（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证：.（2）已知，用，表示向量.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：因为E､F分别是AD､BC的中点，所以，， 由题意，，两式相加得，即；（2）因为，所以，所以.15．已知点G是的重心,M是边的中点.若过的重心G,且,求证:.【答案】见解析【详解】因为M是边的中点,所以.因为G是的重心,所以.由P,G,Q三点共线,所以有且只有一个实数,使，，，又因为不共线，，消去，整理得,故.