第六章平面向量及其应用6.1.1向量的实际背景与概念一、基础巩固1．给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.2．以下说法正确的是（）A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是C．二面角的取值范围是D．向量与向量夹角的取值范围是
【答案】C【详解】A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；C项：二面角的取值范围是，C正确；D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，3．下列说法中，正确的个数是（）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（）A．B．C．D．【答案】B【详解】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.4．下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【详解】A.若，则不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B.若，则不一定平行，所以该选项错误；
C.若，，则，所以该选项是正确的；D.若，，则错误，如：，都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足，所以该选项错误.5．下列结论正确的是()A．单位向量的方向相同或相反B．对任意向量,总是成立的C．D．若,则一定有直线【答案】C【详解】单位向量的长度为1,方向任意,故A错;零向量的模为零,故B错;与方向相反,但模相等,故C正确;直线与可能重合,故D错,6．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【详解】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.7．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③若(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若，则共线．其中错误的命题的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当时，不论λ为何值，.④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．8．下列关于向量的描述正确的是()A．若向量，都是单位向量，则B．若向量，都是单位向量，则C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【详解】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；9．（多选）有下列说法，其中错误的说法为（）．A．若∥，∥，则∥B．若，则是三角形的垂心C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若∥，则存在唯一实数使得【答案】AD【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.10．（多选）在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等【答案】BCD【详解】A.若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B.平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C.相等向量方向相同，模相等，正确；D.相反向量方向相反，模相等，故正确；11．（多选）下列命题中正确的是()A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．若与满足，且与同向,则D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【详解】单位向量的模均为1，故A正确；向量共线包括同向和反向，故B不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；根据相等向量的概念知，D正确.12．（多选）给出下列命题，其中不正确的是（）A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小C．若(为实数)．则必为零
D．已知为实数，若，则与共线【答案】ACD【详解】对于A，两个具有公共终点的向量一定是共线向量，方向不确定，故错误；对于B，两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，故正确；对于C，若(为实数)．则必为零.可能不为零，若向量，；故错误对于D，已知为实数，若，则与共线，当其中一个为零向量时不成立，故错误；一、拓展提升13．老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?【答案】不能,理由见解析【详解】猫追不上老鼠,因为猫和老鼠跑的方向是不同的,所以猫的速度再快也追不上老鼠.14．如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作图见解析（2）【详解】解：（1）如图，即为所求.（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，∴.15．判断下列命题是否正确，请说明理由：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则=；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；
（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．【答案】（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析【详解】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．（3）正确．因为|，且与同向，由两向量相等的条件，可得=（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．（5）不正确．因为向量与若有一个是零向量，则其方向不定．
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