第八章立体几何初步8.4.1平面一、基础巩固1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（）A．，B．，且，且C．，，且，D．，【答案】A【详解】不是公理，在中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故是公理．在中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故是公理；在中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故是公理；2．如图所示，用符号语言可表达为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】结合图形可以得出平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点A，
结合选项可得C正确；3．如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条【答案】D【详解】平面与平面有公共点，由公理3知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.4．下列说法正确的是（ ）A．任意三点确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．平面和有不同在一条直线上的三个交点D．一条直线和一个点确定一个平面【答案】B【解析】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错．C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错．D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，5．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点
，则下列结论正确的是（）A．四点不共面B．四点共面C．三点共线D．三点共线【答案】D【详解】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．为中点，所以，，故，故C错．6．下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．四边相等的四边形【答案】D【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．7．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则（）A．点必在直线上B．点必在直线上C．点必在平面外D．点必在平面内【答案】B【详解】
如图：连接EH、FG、BD，∵EH、FG所在直线相交于点P，∴P∈EH且P∈FG，∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，故选B．8．平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则与的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【详解】由题意，若三点分布在平面的同侧，此时平面平面；若三点分布于平面的两侧时，此时平面与平面相交，综上可知，平面与平面平行或相交，故选C．9．如图，在正方体中，为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．
【答案】C【详解】取中点，连接．平面为截面．如下图：10．在正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体过，，的截面图是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【详解】解：延长交的延长线与,连交于,则为的中点,延长交的延长线与,延长交的延长线与,连接交于,交于,则易得,分别为,的中点,连接,则截面为正六边形为所求截面.如图所示:11．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【详解】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．12．下列说法中正确的个数是（）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④若，且，则在上.A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；
对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；对于④，由公理可得，若，则，故④正确.一、拓展提升13．如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：（1）四点共面；（2）直线共点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）连接，，分别是的中点，.又，，，四点共面.（2）易知与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面.∵平面平面，，∴直线共点.14.已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．【答案】(1)证明见解析；(2)45°.【详解】(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.15．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.求证：（1）四点共面；（2）三线共点.【答案】（1）见证明（2）见证明【详解】证明：（1）连接.
∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．
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