新教材人教版高中数学必修第二册练习：6.4.1《平面几何中的向量方法》（解析版）

6.4.1平面几何中的向量方法（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号向量在平面几何中的应用1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12基础巩固1．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为（）A．直角（非等腰）三角形B．等腰（非等边）三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确【答案】C【解析】∵，且，∴为等腰直角三角形.答案选C2．在△ABC中，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定 【答案】B【解析】由题意可得，即，整理可得，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知△ABC的形状为钝角三角形.3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A．8B．4C．2D．1【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.4．若,且,则四边形是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四边形是等腰梯形，故选：C．5．在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】如图． ．∴，即．故选：D．6．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心．【答案】外心【解析】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心,故答案为外心.7．设是△ABC内部一点，且，则△AOB与的面积之比为________________.【答案】【解析】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即△AOB与的面积之比为.8．求证：以为顶点的四边形是一个矩形.【答案】证明见解析 【解析】因为，，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.能力提升9．平行四边形中，,点P在边CD上，则的取值范围是（）A．[-1,8]B．C．[0,8]D．[-1,0]【答案】A【解析】∵,，∴，∴，A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为轴，以AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴A(0,0),B(4,0),，设，∴，∴，设，∴在上单调递减,在上单调递增，结合二次函数的性质可知：函数的最小值为：，函数的最大值为，则的取值范围是[−1,8]，本题选择A选项.10．已知为△的外心，若+−=0，则=_____．【答案】【解析】∵+−=0，∴， ∴，∵在圆上，∴，∴∙=0.所以.11．如图，在梯形ABCD中，，，，，E是边BC上一动点，求的最小值.【答案】【解析】过点作，垂足为，因为，，，所以，，.又因为，所以四边形为矩形.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，.设，所以， 因为，所以，所以.因为，，所以，当时，取得最小值.素养达成12．已知三个顶点的坐标分别为.(1)若是边上的高,求向量的坐标;(2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】（1）设,则,,由题意知,则,又,则有,即,①由,得,即,②联立①②解得.则.（2）设,则,由为钝角,得,解得,由与不能共线,得,解得.故点E的横坐标的取值范围是.