新教材人教版高中数学必修第二册练习：6.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》（解析版）

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的正交分解2平面向量的坐标表示1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12基础巩固1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是 (  )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为向量平移坐标不变，所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，故③错，①②④均对．故选C． 2．下列可作为正交分解的基底的是（）A．等边三角形中的和B．锐角三角形中的和C．以角A为直角的直角三角形中的和D．钝角三角形中的和【答案】C【解析】选项A中，与的夹角为60°；选项B中，与的夹角为锐角；选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.故选：C3．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量（5，12），将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：所以．故选D．4．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（  ） A．B．或C．D．或【答案】B【解析】设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得或所以或,故本题选B.5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量,那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15，10-15=-5那么可知该点的坐标为，故选C.6．已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且||=4，则的坐标为____.【答案】(2，2)【解析】设=(x，y)，则x=4cos30°=2，y=4sin30°=2，故=(2，2).故答案为：(2，2)7．若向量与相等，其中，则=_________.【答案】-1【解析】由可得，又，所以=0且=2，解得.考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.8．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求的坐标. 【答案】，，【解析】，又是（标准）正交基底，，即的坐标为，同理的坐标为，的坐标为.能力提升9．如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(  )A．＋B．2－C．－2＋D．2＋【答案】C【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则．设，则，∴，解得，所以．选C．10．在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是      ．【答案】【解析】因为，，，所以，因为点在第一象限内，，且，则，，且，，解得，，因此,故答案为.11．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标． 【答案】．【解析】设点，∵，且，∴，．又，∴，．故，．素养达成12．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标．【答案】， 【解析】由题图知，轴，轴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．