第十章概率一、单选题1．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为,故选：C.2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【答案】B【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．3．根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（）A．460B．480C．不少于480D．不多于480【答案】C【解析】根据题意,知该校近视的学生人数约为,结合实际情况,眼镜商应准备眼镜不少于480副.故选:C4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683
431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【答案】B【解析】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：B5．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选：B.6．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，故选D．7．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶【答案】D【解析】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D8．如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结错误的是()A．A,B两个盒子串联后畅通的概率为B．D,E两个盒子并联后畅通的概率为C．A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为D．当开关合上时,整个电路畅通的概率为【答案】B【解析】由题意知,,,,,,所以A,B两个盒子畅通的概率为,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为,因此B错误;A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为,C正确;根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为,D正确.故选：B二、多选题
9．下列命题是假命题的是( )A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．【答案】BCD【解析】由题意A中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；B中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；C也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.10．下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次,事件“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”B．袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件“第1次摸到红球”,事件“第2次模到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币,事件“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次,事件“第一次为正面”,事件“第二次为反面”【答案】CD【解析】在A中,，所以不相互独立;在B中,M,N可能同时发生，不是相互独立事件;在C中,,,,,因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.故选：CD11．某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.顾客人数商品甲乙丙丁100√×√√
217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××根据表中数据,下列结论正确的是()A．顾客购买乙商品的概率最大B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3【答案】BCD【解析】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;对于B,从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,故B正确;对于C,从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,故C正确;对于D,从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,顾客仅购买1种商品的概率可以估计为,故D正确.故选:BCD.12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A．B．事件B与事件相互独立C．事件B与事件相互独立D．，互斥【答案】AD【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．三、填空题13．玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”) 【答案】不公平【解析】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平；故答案为不公平14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件表示“不大于4的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为________（表示的对立事件）．【答案】
【解析】由题意，可知抛掷一颗骰子，基本事件的个数共有6个，则事件A表示“不大于4的偶数点出现”的概率为，事件B表示“小于5的点数出现”的概率为，则，∵与互斥，∴．15．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．【答案】0.2【解析】∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.16．某地移动分公司为打破“流量月清零”的做法，推出流量“季度包”“半年包”“一年以上”三种业务.甲乙丙分别随机选择其中一种流量业务，则至少有一人选择“半年包”业务的概率是__________.【答案】【解析】记“季度包”“半年包”“一年以上”分别为，甲、乙、丙分别随机选择其中一种流量业务，用实数对表示如下（数字顺序对应甲、乙、丙所选的业务流量）：，，共有27种选择方法，至少有一人选择“半年包”业务有19种选择方法，所以概率为.故答案为:.四、解答题17．现有7名数理化成绩优秀者,分别用,,,,,,表示,其中,,的数学成绩优秀,,的物理成绩优秀,,的化学成绩优秀.从中选出数学､物理､化学成绩优秀者各1
名,组成一个小组代表学校参加竞赛,求和不全被选中的概率.【答案】【解析】从这7人中选出数学､物理､化学成续优秀者各1名,所有可能的结果组成的基本事件为,,,,,,,,,,,,共12个.设“和不全被选中”为事件N,则其对立事件表示“和全被选中”,由于,所以,由对立事件的概率计算公式得.18．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”．由已知，，，．（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则19．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了个蜜柚进行测重，其质量分别在，，,,，(单位:克)中，其频率分布直方图如图所示，
（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取了个，现从这个蜜柚中随机抽取个．求这个蜜柚质量均小于克的概率:（Ⅱ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案:方案一:所有蜜柚均以元/千克收购；方案二:低于克的蜜柚以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选择方案二.【解析】（Ⅰ）质量落在和中的频率分别是和,分层抽样的方法抽取个蜜柚，则中抽取个，中抽取个，个蜜柚质量均小于的概率为； （Ⅱ）根据题意，方案一收益为:+++++(元)方案二收益为:(元)，选择方案二.20．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）若以表示和为6的事件，求；（2）现连玩三次，若以表示甲至少赢一次的事件，表示乙至少赢两次的事件，试问与是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）；（2）与不是互斥事件；（3）不公平.
【解析】（1）甲、乙出手指都有种可能，因此基本事件的总数为，事件包括甲、乙出的手指的情况有共种情况.∴.（2）与不是互斥事件，因为事件与可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件，即符合题意.（3）这种游戏规则不公平，由（1）知和为偶数的基本事件数为个.所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平.21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有，所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.22．近几年市加大雾霾治理的投入，空气质量与前几年相比有了很大改善，并于年市入选中国空气优良城市.已知该市设有个监测站用于监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有、、个监测站，并以个监测站测得的的平均值为依据播报该市的空气质量.（1）若某日播报的为，已知轻度污染区平均值为，中度污染区平均值为，求重度污染区平均值；（2）如图是年月份天的的频率分布直方图，月份仅有天在内.①某校参照官方公布的，如果周日小于就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从月份不小于的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中值在的天数的概率.
【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）设重度污染区平均值为，，；（2）①在上的有天，在上的有天，在上的有天，所以月份不小于的共天.即能参加户外活动的概率为；②由①在上的天的编号为、、、、，在上的天的编号为、，从天中抽取两天的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种情况.满足条件的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，所以，抽取的这两天中值在的天数的概率为.
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